Для решения данной задачи преобразуем выражение ((\sin \frac{a}{4} + \cos \frac{a}{4})(\sin \frac{a}{4} - \cos \frac{a}{4})) с помощью формулы разности квадратов. Эта формула выглядит так:
[
(x + y)(x - y) = x^2 - y^2
]
В нашем случае:
- (x = \sin \frac{a}{4})
- (y = \cos \frac{a}{4})
Теперь подставим значения в формулу:
[
(\sin \frac{a}{4} + \cos \frac{a}{4})(\sin \frac{a}{4} - \cos \frac{a}{4}) = (\sin \frac{a}{4})^2 - (\cos \frac{a}{4})^2
]
Теперь нам нужно вычислить каждое из этих выражений:
- ((\sin \frac{a}{4})^2 = \sin^2 \frac{a}{4})
- ((\cos \frac{a}{4})^2 = \cos^2 \frac{a}{4})
Теперь подставляем это в выражение:
[
\sin^2 \frac{a}{4} - \cos^2 \frac{a}{4}
]
Это выражение можно оставить как есть, так как оно уже является упрощённым и законченным. Однако помним, что мы можем заменить его с помощью тригонометрической идентичности, если это необходимо в контексте задания (но в данном случае это не требуется).
Таким образом, окончательный ответ на заданное выражение:
[
(\sin \frac{a}{4})^2 - (\cos \frac{a}{4})^2 = \sin^2 \frac{a}{4} - \cos^2 \frac{a}{4}
]
