Для определения количества возможных комбинаций фенечек из бисера, которые Кристина может сплести из 20 разных цветов, мы воспользуемся комбинаторикой. Так как Кристина хочет создать браслет из 5 различных цветов, это означает, что порядок цветов не важен, но каждый цвет используется только один раз.
В данном случае нам нужны сочетания, так как мы выбираем несколько предметов из общего числа, не обращая внимания на порядок. Формула для вычисления количества сочетаний выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
]
где:
- (C(n, k)) — количество сочетаний,
- (n) — общее количество элементов (в нашем случае, 20 цветов),
- (k) — количество выбираемых элементов (в нашем случае, 5 цветов),
- (n!) — факториал числа (n) (например, (5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120)).
Теперь подставим наши значения:
Сначала вычислим факториалы:
- (20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)
- (5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120)
- ((20-5)! = 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)
Теперь подставим значения в формулу сочетаний:
[
C(20, 5) = \frac{20!}{5! \cdot 15!}
]
Так как (20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!), мы можем упростить выражение:
[
C(20, 5) = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15!}{5! \cdot 15!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5!}
]
Теперь вычислим, что получится в числителе:
[
20 \times 19 = 380
]
[
380 \times 18 = 6840
]
[
6840 \times 17 = 116280
]
[
116280 \times 16 = 1860480
]
Теперь делим на (5!):
[
\frac{1860480}{120} = 15504
]
Таким образом, количество возможных комбинаций фенечек из 5 различных цветов, которые Кристина может сплести из 20 доступных цветов, составляет 15504.
