Периметр равнобедренного треугольника 64 см, а его боковая сторона на 14 см больше основания, найти высоту треугольника опущенную на боковую сторону
Для решения задачи начнем с того, что мы знаем о равнобедренном треугольнике.
Дано:
- Периметр равнобедренного треугольника (P) = 64 см.
- Боковая сторона (b) на 14 см больше основания (a), т.е. \( b = a + 14 \).
Найдем стороны треугольника:
Периметр равнобедренного треугольника можно выразить как сумму длин всех его сторон:
\[ P = a + b + b = a + 2b \]
Подставим \( b = a + 14 \) в уравнение периметра:
\[ 64 = a + 2(a + 14) \]
Упростим это уравнение:
\[ 64 = a + 2a + 28 \] \[ 64 = 3a + 28 \]
Теперь изолируем \( 3a \):
\[ 64 - 28 = 3a \] \[ 36 = 3a \]
Теперь делим обе стороны на 3:
\[ a = 12 \text{ см} \]
Теперь найдем боковую сторону \( b \):
\[ b = a + 14 = 12 + 14 = 26 \text{ см} \]
Стороны треугольника:
- Основание \( a = 12 \) см.
- Боковая сторона \( b = 26 \) см.
Найдем высоту, опущенную на основание:
Для нахождения высоты \( h \) опустим высоту из вершины треугольника на основание. Эта высота делит основание пополам, так как треугольник равнобедренный.
Половина основания:
\[ \frac{a}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} \]
Теперь используем теорему Пифагора в правом треугольнике, где гипотенуза — боковая сторона \( b \), а один катет — половина основания, а второй катет — высота \( h \):
\[ b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]
Подставим значения:
\[ 26^2 = h^2 + 6^2 \]
Вычислим квадраты:
\[ 676 = h^2 + 36 \]
Теперь найдем \( h^2 \):
\[ h^2 = 676 - 36 \] \[ h^2 = 640 \]
Теперь найдём \( h \) путем извлечения квадратного корня:
\[ h = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10} \text{ см} \]
Ответ:
Высота, опущенная на боковую сторону равнобедренного треугольника, составляет \( 8\sqrt{10} \) см, что примерно равно 25.3 см (если нужный результат в десятичной форме).
