Найди единственное решение при a>0

Для решения уравнения \(\sqrt{7 - x^2} = |x - a|\) при \(a > 0\), необходимо анализировать обе части уравнения отдельно и найти точки, где они пересекаются. ### Шаг 1: Анализ обеих частей уравнения 1. **Левая часть уравнения:** \(\sqrt{7 - x^2}\) - Определена, если \(7 - x^2 \geq 0\). - Это даёт: \(-\sqrt{7} \leq x \leq \sqrt{7}\). - \(\sqrt{7 - x^2}\) — полуокружность с радиусом \(\sqrt{7}\), центром в точке \((0, 0)\). 2. **Правая часть уравнения:** \(|x - a|\) - Определяется для всех \(x\). - Это выражение описывает "веер" из двух линий с углами 45 градусов — одна идёт вверх от точки \(x = a\), а другая вниз. ### Шаг 2: Нахождение точек пересечения 1. **Первая ситуация:** \(x - a \geq 0\), то есть \(x \geq a\). - Тогда \(|x - a| = x - a\). - Уравнение становится: \(\sqrt{7 - x^2} = x - a\). 2. **Вторая ситуация:** \(x - a < 0\), то есть \(x < a\). - Тогда \(|x - a| = a - x\). - Уравнение становится: \(\sqrt{7 - x^2} = a - x\). ### Шаг 3: Решение уравнений Рассмотрим уравнение: \(\sqrt{7 - x^2} = x - a\). - Возведём обе части в квадрат: \[ 7 - x^2 = (x - a)^2 \] \[ 7 - x^2 = x^2 - 2ax + a^2 \] \[ 7 = 2x^2 - 2ax + a^2 \] \[ 2x^2 - 2ax + a^2 - 7 = 0 \] Это квадратное уравнение относительно \(x\). ### Шаг 4: Анализ корней квадратного уравнения Используем дискриминант для нахождения корней: \[ D = b^2 - 4ac \] \[ a = 2, \ b = -2a, \ c = a^2 - 7 \] \[ D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 7) \] \[ D = 4a^2 - 8a^2 + 56 \] \[ D = -4a^2 + 56 \] \[ D = 4(14 - a^2) \] Для того чтобы уравнение имело решения, дискриминант должен быть неотрицательным: \[ 14 - a^2 \geq 0 \] \[ a^2 \leq 14 \] \[ a \leq \sqrt{14} \] ### Итого Следовательно, при \(a > 0\) и \(a \leq \sqrt{14}\), уравнение имеет действительное решение. Точные значения решения зависят от конкретного значения \(a\), но в общем случае нужно подставлять значения \(a\) в уравнение для поиска пересечений.