найди единственное решение при a>0
Для решения уравнения \(\sqrt{7 - x^2} = |x - a|\) при \(a > 0\), необходимо анализировать обе части уравнения отдельно и найти точки, где они пересекаются.
Шаг 1: Анализ обеих частей уравнения
Левая часть уравнения: \(\sqrt{7 - x^2}\)
- Определена, если \(7 - x^2 \geq 0\).
- Это даёт: \(-\sqrt{7} \leq x \leq \sqrt{7}\).
- \(\sqrt{7 - x^2}\) — полуокружность с радиусом \(\sqrt{7}\), центром в точке \((0, 0)\).
Правая часть уравнения: \(|x - a|\)
- Определяется для всех \(x\).
- Это выражение описывает "веер" из двух линий с углами 45 градусов — одна идёт вверх от точки \(x = a\), а другая вниз.
Шаг 2: Нахождение точек пересечения
Первая ситуация: \(x - a \geq 0\), то есть \(x \geq a\).
- Тогда \(|x - a| = x - a\).
- Уравнение становится: \(\sqrt{7 - x^2} = x - a\).
Вторая ситуация: \(x - a < 0\), то есть \(x < a\).
- Тогда \(|x - a| = a - x\).
- Уравнение становится: \(\sqrt{7 - x^2} = a - x\).
Шаг 3: Решение уравнений
Рассмотрим уравнение: \(\sqrt{7 - x^2} = x - a\).
- Возведём обе части в квадрат: \[ 7 - x^2 = (x - a)^2 \] \[ 7 - x^2 = x^2 - 2ax + a^2 \] \[ 7 = 2x^2 - 2ax + a^2 \] \[ 2x^2 - 2ax + a^2 - 7 = 0 \]
Это квадратное уравнение относительно \(x\).
Шаг 4: Анализ корней квадратного уравнения
Используем дискриминант для нахождения корней:
\[ D = b^2 - 4ac \] \[ a = 2, \ b = -2a, \ c = a^2 - 7 \] \[ D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 7) \] \[ D = 4a^2 - 8a^2 + 56 \] \[ D = -4a^2 + 56 \] \[ D = 4(14 - a^2) \]
Для того чтобы уравнение имело решения, дискриминант должен быть неотрицательным: \[ 14 - a^2 \geq 0 \] \[ a^2 \leq 14 \] \[ a \leq \sqrt{14} \]
Итого
Следовательно, при \(a > 0\) и \(a \leq \sqrt{14}\), уравнение имеет действительное решение. Точные значения решения зависят от конкретного значения \(a\), но в общем случае нужно подставлять значения \(a\) в уравнение для поиска пересечений.
