Разложить на размножители

Чтобы разложить многочлен \( P(x) = x^{38} + 6x^{37} + 11x^{36} + 6x^{35} \) на множители, можно начать с вынесения общего множителя за скобки. ### Шаг 1: Найти Общий Множитель Рассмотрим члены многочлена: \[ x^{38}, \quad 6x^{37}, \quad 11x^{36}, \quad 6x^{35} \] Общий множитель всех членов — это \( x^{35} \). ### Шаг 2: Вынести \( x^{35} \) за скобки Теперь вынесем \( x^{35} \) за скобки: \[ P(x) = x^{35}(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \] ### Шаг 3: Разложить Трёхчленный Многочлен Теперь мы разложим \( x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \) на множители. Это многочлен третьей степени, и мы можем попробовать разложить его методом подбора корней (в том числе с использованием теоремы Виета). 1. **Попробуем найти целые корни**. Для этого подставим возможные делители свободного члена (\(+6\)): \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\). 2. Проверим \( x = -1 \): \[ (-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0 \] Значит, \( x = -1 \) — это корень. ### Шаг 4: Деление на \((x + 1)\) Теперь разделим многочлен \( x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \) на \( x + 1 \) методом схемы Горнера или делением столбиком: \[ x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)(x^2 + 5x + 6) \] ### Шаг 5: Разложить Квадратный Трёхчлен Теперь разложим \( x^2 + 5x + 6 \): Найдём корни по теореме Виета или дискриминанту: Произведение корней: \( 6 \), сумма корней: \(-5\). \[ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \] ### Итоговое Разложение Таким образом, полное разложение многочлена будет: \[ P(x) = x^{35}(x + 1)(x + 2)(x + 3) \] Таким образом, многочлен разложен на множители.