Найдите сумму векторов AB+BC и разность CB-CD в параллелограмме

Чтобы решить задачу о нахождении суммы векторов и их разности в параллелограмме, сначала давайте разберемся с определениями.

Определение

В параллелограмме:

• Вектора, соединяющие вершины, называются векторами сторон.
• Например, векторы \( \vec{AB} \), \( \vec{BC} \), \( \vec{CD} \), \( \vec{DA} \) могут соединять соответствующие вершины параллелограмма.

1. Сумма векторов \( \vec{AB} + \vec{BC} \)

Пошаговое решение:

1. Определение векторов: В параллелограмме векторы могут быть записаны в виде:

   • \( \vec{AB} \) — вектор от точки A к точке B.
   • \( \vec{BC} \) — вектор от точки B к точке C.

2. Задание векторов: Если предположить, что:

   • \( A = (x_1, y_1) \)
   • \( B = (x_2, y_2) \)
   • \( C = (x_3, y_3) \)
   • \( D = (x_4, y_4) \)

   Тогда:

   • \( \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \)
   • \( \vec{BC} = (x_3 - x_2, y_3 - y_2) \)

3. Сумма векторов: Сумма векторов \( \vec{AB} + \vec{BC} \): \[ \vec{AB} + \vec{BC} = (x_2 - x_1 + x_3 - x_2, y_2 - y_1 + y_3 - y_2) = (x_3 - x_1, y_3 - y_1) \]

   Результат \( \vec{AB} + \vec{BC} \) указывает на вектор, соединяющий начало вектора A с точкой C.

2. Разность векторов \( \vec{CB} - \vec{CD} \)

Пошаговое решение:

1. Определение векторов:

   • \( \vec{CB} \) — вектор от точки C к точке B.
   • \( \vec{CD} \) — вектор от точки C к точке D.

2. Задание векторов: Тогда:

   • \( \vec{CB} = (x_2 - x_3, y_2 - y_3) \)
   • \( \vec{CD} = (x_4 - x_3, y_4 - y_3) \)

3. Разность векторов: Разность векторов \( \vec{CB} - \vec{CD} \): \[ \vec{CB} - \vec{CD} = (x_2 - x_3 - (x_4 - x_3), y_2 - y_3 - (y_4 - y_3)) \] \[ = (x_2 - x_4, y_2 - y_4) \]

Таким образом:

• Сумма векторов \( \vec{AB} + \vec{BC} \) ведет к вектору \( \vec{AC} \).
• Разность векторов \( \vec{CB} - \vec{CD} \) представляет вектор, который связывает точки B и D, но с учетом направления C.

Это полезные свойства, которые показывают, как складываются и вычитаются векторы в параллелограмме.