Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника с известной гипотенузой и углом, давайте подробно разберёмся с этим шаг за шагом.
Дано:
- Гипотенуза ( c = 16 ) см
- Один из углов ( \alpha = 45^\circ )
Цель:
Найти площадь прямоугольного треугольника.
Урок о прямоугольном треугольнике:
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен 90°. В нашем случае, мы знаем, что один из других углов равен 45°. Следовательно, второй угол также будет 45°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.
Это означает, что наш треугольник является равнобедренным, где два катета равны между собой.
Находим длину катетов:
Если обозначим катеты как ( a ), то на основании тригонометрии, мы можем использовать синус или косинус угла 45°:
- Синус угла 45° (или косинус угла 45°) равен ( \frac{\sqrt{2}}{2} ).
- Для находления одного из катетов:
[
a = c \cdot \cos(45^\circ)
]
или
[
a = c \cdot \sin(45^\circ)
]
Подставим значение гипотенузы:
[
a = 16 \cdot \cos(45^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \text{ см}
]
Формула для площади:
Теперь, мы можем использовать формулу для нахождения площади прямоугольного треугольника:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
где ( a ) и ( b ) — это длины катетов. Поскольку в нашем случае катеты равны:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a^2
]
Теперь подставим найденное значение ( a ):
[
S = \frac{1}{2} \cdot (8\sqrt{2})^2
]
[
S = \frac{1}{2} \cdot (64 \cdot 2) = \frac{1}{2} \cdot 128 = 64 \text{ см}^2
]
Ответ:
Площадь данного прямоугольного треугольника равна 64 см².
