Найдите площадь прямоугольного треугольника если его гипотенуза равна 16 см один из углов треугольника равен 45°

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника с известной гипотенузой и углом, давайте подробно разберёмся с этим шаг за шагом.

Дано:

• Гипотенуза \( c = 16 \) см
• Один из углов \( \alpha = 45^\circ \)

Цель:

Найти площадь прямоугольного треугольника.

Урок о прямоугольном треугольнике:

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол равен 90°. В нашем случае, мы знаем, что один из других углов равен 45°. Следовательно, второй угол также будет 45°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.

Это означает, что наш треугольник является равнобедренным, где два катета равны между собой.

Находим длину катетов:

Если обозначим катеты как \( a \), то на основании тригонометрии, мы можем использовать синус или косинус угла 45°:

1. Синус угла 45° (или косинус угла 45°) равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
2. Для находления одного из катетов: \[ a = c \cdot \cos(45^\circ) \] или \[ a = c \cdot \sin(45^\circ) \]

Подставим значение гипотенузы: \[ a = 16 \cdot \cos(45^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \text{ см} \]

Формула для площади:

Теперь, мы можем использовать формулу для нахождения площади прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] где \( a \) и \( b \) — это длины катетов. Поскольку в нашем случае катеты равны: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a^2 \]

Теперь подставим найденное значение \( a \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot (8\sqrt{2})^2 \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot (64 \cdot 2) = \frac{1}{2} \cdot 128 = 64 \text{ см}^2 \]

Ответ:

Площадь данного прямоугольного треугольника равна 64 см².