шар вписан в цилиндр . Площадь полной поверхности цилиндра равна 279. найдите площадь поверхности шара

Чтобы решить задачу о нахождении площади поверхности шара, вписанного в цилиндр, нам нужно использовать некоторые геометрические свойства.

Шаг 1: Понять связь между цилиндром и шаром

Шар вписан в цилиндр, значит, радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а высота цилиндра равна диаметру шара. Обозначим:

• \( r \) — радиус шара,
• \( h \) — высота цилиндра.

Для шара:

• Площадь поверхности шара \( S_{\text{шар}} = 4 \pi r^2 \).

Для цилиндра:

• Площадь полной поверхности цилиндра \( S_{\text{цилиндр}} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h \), где \( 2\pi r^2 \) — площадь оснований цилиндра, а \( 2\pi rh \) — боковая поверхность.

Шаг 2: Установить связь между высотой цилиндра и радиусом шара

Поскольку шар вписан в цилиндр, его высота равна \( h = 2r \).

Шаг 3: Подставить значение высоты в формулу для площади поверхности цилиндра

Подставим \( h = 2r \) в формулу площади поверхности цилиндра: \[ S_{\text{цилиндр}} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r (2r) = 2 \pi r^2 + 4 \pi r^2 = 6 \pi r^2. \]

Шаг 4: Подставить известное значение площади цилиндра

У нас есть, что площадь полной поверхности цилиндра равна 279: \[ 6 \pi r^2 = 279. \] Теперь выразим \( r^2 \): \[ r^2 = \frac{279}{6\pi}. \]

Шаг 5: Найти площадь поверхности шара

Теперь, когда мы нашли \( r^2 \), можем подставить его в формулу для площади поверхности шара: \[ S_{\text{шар}} = 4 \pi r^2 = 4 \pi \left(\frac{279}{6\pi}\right) = \frac{4 \cdot 279}{6} = \frac{1116}{6} = 186. \]

Ответ

Площадь поверхности шара равна 186.