Чтобы решить задачу о нахождении площади поверхности шара, вписанного в цилиндр, нам нужно использовать некоторые геометрические свойства.
Шаг 1: Понять связь между цилиндром и шаром
Шар вписан в цилиндр, значит, радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а высота цилиндра равна диаметру шара. Обозначим:
- ( r ) — радиус шара,
- ( h ) — высота цилиндра.
Для шара:
- Площадь поверхности шара ( S_{\text{шар}} = 4 \pi r^2 ).
Для цилиндра:
- Площадь полной поверхности цилиндра ( S_{\text{цилиндр}} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h ),
где ( 2\pi r^2 ) — площадь оснований цилиндра, а ( 2\pi rh ) — боковая поверхность.
Шаг 2: Установить связь между высотой цилиндра и радиусом шара
Поскольку шар вписан в цилиндр, его высота равна ( h = 2r ).
Шаг 3: Подставить значение высоты в формулу для площади поверхности цилиндра
Подставим ( h = 2r ) в формулу площади поверхности цилиндра:
[
S_{\text{цилиндр}} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r (2r) = 2 \pi r^2 + 4 \pi r^2 = 6 \pi r^2.
]
Шаг 4: Подставить известное значение площади цилиндра
У нас есть, что площадь полной поверхности цилиндра равна 279:
[
6 \pi r^2 = 279.
]
Теперь выразим ( r^2 ):
[
r^2 = \frac{279}{6\pi}.
]
Шаг 5: Найти площадь поверхности шара
Теперь, когда мы нашли ( r^2 ), можем подставить его в формулу для площади поверхности шара:
[
S_{\text{шар}} = 4 \pi r^2 = 4 \pi \left(\frac{279}{6\pi}\right) = \frac{4 \cdot 279}{6} = \frac{1116}{6} = 186.
]
Ответ
Площадь поверхности шара равна 186.
