Решите уравнение: 4x² + 40x + 100 = (x - 4)² (Заполни пропуски в решении. Первое число в ответе запиши наименьшее.)
Для решения уравнения \( 4x^2 + 40x + 100 = (x - 4)^2 \) будем действовать поэтапно.
Шаг 1: Преобразование правой части уравнения
Сначала упростим правую часть уравнения:
\[ (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16 \]
Теперь уравнение принимает следующее вид:
\[ 4x^2 + 40x + 100 = x^2 - 8x + 16 \]
Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону
Теперь перенесем всё из правой части в левую, чтобы получить 0 с одной стороны:
\[ 4x^2 + 40x + 100 - x^2 + 8x - 16 = 0 \]
Шаг 3: Объединение однородных членов
Теперь объединяем однородные члены:
\[ (4x^2 - x^2) + (40x + 8x) + (100 - 16) = 0 \]
Это упростится до:
\[ 3x^2 + 48x + 84 = 0 \]
Шаг 4: Упрощение уравнения
Теперь поделим все коэффициенты на 3, чтобы упростить уравнение:
\[ x^2 + 16x + 28 = 0 \]
Шаг 5: Применение формулы решения квадратного уравнения
Теперь будем решать квадратное уравнение \( x^2 + 16x + 28 = 0 \) с использованием дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = 16 \), \( c = 28 \).
Подставим значения:
\[ D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144 \]
Шаг 6: Нахождение корней
Корни уравнения находятся по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения \( a \), \( b \), и \( D \):
\[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-16 \pm 12}{2} \]
Теперь находим два возможных значения:
- \( x_1 = \frac{-16 + 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
- \( x_2 = \frac{-16 - 12}{2} = \frac{-28}{2} = -14 \)
Шаг 7: Запись ответа
Таким образом, у уравнения есть два корня:
\[ x_1 = -2, \quad x_2 = -14 \]
Наименьшее из них:
\[ \boxed{-14} \]
Резюме
Мы нашли два корня уравнения \( 4x^2 + 40x + 100 = (x - 4)^2 \), это \( x = -2 \) и \( x = -14 \). Наименьшее значение — \( -14 \).
