Для решения уравнения ( 4x^2 + 40x + 100 = (x - 4)^2 ) будем действовать поэтапно.
Шаг 1: Преобразование правой части уравнения
Сначала упростим правую часть уравнения:
[
(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16
]
Теперь уравнение принимает следующее вид:
[
4x^2 + 40x + 100 = x^2 - 8x + 16
]
Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону
Теперь перенесем всё из правой части в левую, чтобы получить 0 с одной стороны:
[
4x^2 + 40x + 100 - x^2 + 8x - 16 = 0
]
Шаг 3: Объединение однородных членов
Теперь объединяем однородные члены:
[
(4x^2 - x^2) + (40x + 8x) + (100 - 16) = 0
]
Это упростится до:
[
3x^2 + 48x + 84 = 0
]
Шаг 4: Упрощение уравнения
Теперь поделим все коэффициенты на 3, чтобы упростить уравнение:
[
x^2 + 16x + 28 = 0
]
Шаг 5: Применение формулы решения квадратного уравнения
Теперь будем решать квадратное уравнение ( x^2 + 16x + 28 = 0 ) с использованием дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = 16 ), ( c = 28 ).
Подставим значения:
[
D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28 = 256 - 112 = 144
]
Шаг 6: Нахождение корней
Корни уравнения находятся по формуле:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем значения ( a ), ( b ), и ( D ):
[
x = \frac{-16 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{-16 \pm 12}{2}
]
Теперь находим два возможных значения:
- ( x_1 = \frac{-16 + 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2 )
- ( x_2 = \frac{-16 - 12}{2} = \frac{-28}{2} = -14 )
Шаг 7: Запись ответа
Таким образом, у уравнения есть два корня:
[
x_1 = -2, \quad x_2 = -14
]
Наименьшее из них:
[
\boxed{-14}
]
Резюме
Мы нашли два корня уравнения ( 4x^2 + 40x + 100 = (x - 4)^2 ), это ( x = -2 ) и ( x = -14 ). Наименьшее значение — ( -14 ).
