Давайте рассмотрим задачу о полном графике. Полный график, обозначаемый как ( K_n ), — это график, в котором каждая пара вершин соединена ребром.
Чтобы найти количество вершин ( n ) в полном графике, если известно количество рёбер, воспользуемся формулой для количества рёбер в полном графике, которая выглядит следующим образом:
[
E = \frac{n(n-1)}{2}
]
где ( E ) — количество рёбер, а ( n ) — количество вершин.
В нашей задаче ( E = 351 ). Подставим это значение в формулу:
[
351 = \frac{n(n-1)}{2}
]
Теперь умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
702 = n(n-1)
]
Это уравнение можно переписать как:
[
n^2 - n - 702 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -702 ). Подставим значения:
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-702) = 1 + 2808 = 2809
]
Теперь находим корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{2809}}{2}
]
Вычислим корень из дискриминанта:
[
\sqrt{2809} = 53
]
Теперь подставим это значение:
[
n = \frac{1 \pm 53}{2}
]
Это даёт два решения:
- ( n = \frac{54}{2} = 27 )
- ( n = \frac{-52}{2} = -26 ) (это значение не имеет смысла, так как количество вершин не может быть отрицательным)
Таким образом, найденное значение:
[
n = 27
]
В результате количество вершин в полном графике с 351 рёбером равно 27.
