Постройте графики функций f( ) и g(x) (х- 2)3 1, определите, имеют ли параболы общие точки.ф мы

Для решения задачи мы сначала определим сами функции, их графики и затем проверим, пересекаются ли эти графики.

1. Определение функций

У нас есть две функции:

1. \( f(x) = (x - 2)^3 \)
2. \( g(x) = 1 \)

2. Построение графиков

График функции \( f(x) = (x - 2)^3 \)

Это кубическая функция, которая имеет следующее поведение:

• Функция проходит через точку \( (2, 0) \), так как при \( x = 2 \) значение функции равно нулю.
• Когда \( x < 2 \), \( f(x) < 0 \), а когда \( x > 2 \), \( f(x) > 0 \).
• График будет иметь вид "S"-образной кривой, причем он будет увеличиваться при движении вправо и убывать при движении влево от точки \( x = 2 \).

График функции \( g(x) = 1 \)

Это горизонтальная прямая, расположенная на уровне 1 по оси y. Эта прямая пересекает ось y в точке \( (0, 1) \) и продолжается в бесконечность в обе стороны.

3. Пересечение графиков

Для того чтобы определить, имеют ли функции общие точки, мы должны найти такие \( x \), для которых \( f(x) = g(x) \).

Таким образом, нам нужно решить уравнение: \[ (x - 2)^3 = 1 \]

Решение уравнения

1. Перепишем уравнение: \[ (x - 2)^3 - 1 = 0 \]

2. Используем формулу разности кубов: \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \] Здесь \( a = (x - 2) \) и \( b = 1 \): \[ (x - 2 - 1)((x - 2)^2 + (x - 2) \cdot 1 + 1^2) = 0 \] Это упрощается до: \[ (x - 3)((x - 2)^2 + (x - 2) + 1) = 0 \]

3. Первое множитель \( (x - 3) = 0 \) дает: \[ x = 3 \]

4. Второе множитель: \[ (x - 2)^2 + (x - 2) + 1 = 0 \] Это квадратное уравнение, дающее: \[ t^2 + t + 1 = 0 \text{ (где } t = x - 2\text{)} \]

   Корни этого уравнения вычисляются по формуле: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} \] Поскольку дискриминант отрицателен, корней нет.

4. Итог

Функции \( f(x) = (x - 2)^3 \) и \( g(x) = 1 \) имеют только одну общую точку в \( x = 3 \) (при \( y = 1 \)). То есть, парабола (или кубическая функция) и горизонтальная прямая пересекаются только в одной точке:

Общие точки:

• \( (3, 1) \)

Теперь вы можете построить графики функций и визуально убедиться в том, что они действительно пересекаются именно в этой точке.