Реши задачу
Давайте решим вашу задачу поэтапно.
1. Решите систему уравнений графическим методом:
Уравнения:
\[ x + y = 5 \] \[ y = 2x + 2 \]
Решение:
Для графического метода построим графики обоих уравнений и найдем их точку пересечения.
Первое уравнение: \(x + y = 5\)
Перепишем уравнение в виде \(y = -x + 5\).
Точки:
- При \(x = 0\), \(y = 5\).
- При \(y = 0\), \(x = 5\).
Второе уравнение: \(y = 2x + 2\)
Это уже уравнение прямой в общем виде.
Точки:
- При \(x = 0\), \(y = 2\).
- При \(x = 1\), \(y = 4\).
Теперь на графике эти прямые пересекутся в точке, которая будет решением системы.
Пересечение: \(x = 1\), \(y = 4\).
Ответ: \(x = 1\), \(y = 4\).
2. Решите систему уравнений методом подстановки:
Уравнения:
\[ 15x - 4y = 8 \] \[ -3x + y = 13 \]
Решение:
Выразим \(y\) из второго уравнения:
\[ y = 3x + 13 \]
Подставим это выражение в первое уравнение:
\[ 15x - 4(3x + 13) = 8 \]
Раскроем скобки:
\[ 15x - 12x - 52 = 8 \]
Упростим:
\[ 3x - 52 = 8 \]
Решим для \(x\):
\[ 3x = 60 \]
\[ x = 20 \]
Теперь подставим \(x = 20\) обратно во второе уравнение для определения \(y\):
\[ y = 3(20) + 13 = 60 + 13 = 73 \]
Ответ: \(x = 20\), \(y = 73\).
3. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:
Уравнения:
\[ x = 45 \] \[ -x - y = 13 \]
Решение:
Подставим \(x = 45\) во второе уравнение:
\[ -45 - y = 13 \]
Решим для \(y\):
\[ -y = 13 + 45 \]
\[ -y = 58 \]
\[ y = -58 \]
Ответ: \(x = 45\), \(y = -58\).
Дополнительная задача:
Задача:
Две машинститки перепечатывают рукопись за 12 часов. Сколько времени потребуется второй машинистке, если она может выполнить всю работу на 7 часов быстрее первой?
Решение:
Пусть:
- \(t\) — время, за которое первая машинистка выполнит всю работу.
- \(t - 7\) — время, за которое вторая машинистка выполнит всю работу.
Так как вместе они выполняют работу за 12 часов, тогда:
\[ \frac{1}{t} + \frac{1}{t-7} = \frac{1}{12} \]
Решим это уравнение:
- Найдем общий знаменатель и объединим дроби:
\[ \frac{t-7 + t}{t(t-7)} = \frac{1}{12} \]
\[ \frac{2t - 7}{t(t-7)} = \frac{1}{12} \]
- Пропорция:
\[ 12(2t - 7) = t(t-7) \]
\[ 24t - 84 = t^2 - 7t \]
Переносим все в одну сторону:
\[ t^2 - 31t + 84 = 0 \]
- Решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[ D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 84 = 961 - 336 = 625 \]
Корни уравнения:
\[ t = \frac{31 \pm \sqrt{625}}{2} \]
\[ t = \frac{31 \pm 25}{2} \]
Получаем \(t_1 = 28\) и \(t_2 = 3\).
Поскольку \(t = 28\) (должно быть больше 7), то вторая машинистка работает \(t - 7 = 21\) часов.
Ответ: Второй машинистке потребуется 21 час.
