Дан прямоугольный треугольник ABC. BAC - прямой угол. Угол BCA равен 30°. Гипотенуза BC=8. Как найти катет AC?
Чтобы решить задачу о нахождении катета \( AC \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \), где \( \angle BAC \) — прямой угол, \( \angle BCA = 30^\circ \), и гипотенуза \( BC = 8 \), следуем следующим шагам:
Определяем углы треугольника: В треугольнике \( ABC \) угол \( BAC \) равен \( 90^\circ \), а угол \( BCA \) равен \( 30^\circ \). Таким образом, угол \( ABC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).
Используем тригонометрию: В прямоугольном треугольнике нужно помнить основные соотношения между сторонами и углами. Поскольку у нас есть угол \( BCA = 30^\circ \) и гипотенуза \( BC \), мы можем использовать соотношение тригонометрии:
- Катет, противолежащий углу \( 30^\circ \) (это катет \( AC \)), равен половине гипотенузы.
По формуле: \[ AC = BC \cdot \sin(BCA) \]
Но также мы знаем, что: \[ AC = \frac{1}{2} \cdot BC \] (потому что для треугольника с углом 30° противолежащий катет равен половине гипотенузы).
Подставляем известные значения: \[ AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \]
Таким образом, длина катета \( AC = 4 \).
Ответ:
Катет \( AC \) равен 4.
Обсуждение
2 сообщениянужно найти другую сторону BC
В треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( BAC \) и углом \( BCA = 30^\circ \) (где гипотенуза \( BC = 8 \)), мы уже нашли одну сторону \( AC = 4 \). Теперь нам нужно найти другой катет \( AB \).
Используем соотношения в треугольнике: Мы знаем, что угол \( ABC = 60^\circ \). Мы можем использовать функции тригонометрии для нахождения катета \( AB \).
С помощью косинуса: \[ AB = BC \cdot \cos(BCA) \]
Подставим известные данные. Для угла \( BCA = 30^\circ \): \[ AB = 8 \cdot \cos(30^\circ) \]
Зная, что \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ AB = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \]
Таким образом, длина катета \( AB = 4\sqrt{3} \).
Ответ:
Катет \( AB = 4\sqrt{3} \).
