Дан прямоугольный треугольник ABC. BAC - прямой угол. Угол BCA равен 30°. Гипотенуза BC=8. Как найти катет AC?

Чтобы решить задачу о нахождении катета \( AC \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \), где \( \angle BAC \) — прямой угол, \( \angle BCA = 30^\circ \), и гипотенуза \( BC = 8 \), следуем следующим шагам: 1. **Определяем углы треугольника**: В треугольнике \( ABC \) угол \( BAC \) равен \( 90^\circ \), а угол \( BCA \) равен \( 30^\circ \). Таким образом, угол \( ABC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \). 2. **Используем тригонометрию**: В прямоугольном треугольнике нужно помнить основные соотношения между сторонами и углами. Поскольку у нас есть угол \( BCA = 30^\circ \) и гипотенуза \( BC \), мы можем использовать соотношение тригонометрии: - Катет, противолежащий углу \( 30^\circ \) (это катет \( AC \)), равен половине гипотенузы. По формуле: \[ AC = BC \cdot \sin(BCA) \] Но также мы знаем, что: \[ AC = \frac{1}{2} \cdot BC \] (потому что для треугольника с углом 30° противолежащий катет равен половине гипотенузы). 3. **Подставляем известные значения**: \[ AC = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4 \] Таким образом, длина катета \( AC = 4 \). ### Ответ: Катет \( AC \) равен 4.