Найдите квадрат стороны правильного треугольника АВС, если квадрат длины вектора АВ - ВС равен 45.

Для начала запишем, что мы имеем дело с правильным треугольником, то есть треугольником, в котором все стороны равны, и все углы равны 60°. Обозначим длину стороны треугольника как \( a \).

Вектор \( \overrightarrow{AB} \) обозначает сторону \( AB \) треугольника, а вектор \( \overrightarrow{AC} \) — сторону \( AC \).

Задано, что квадрат длины вектора \( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} \) равен 45. Это можно записать в виде:

\[ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|^2 = 45 \]

Теперь, учитывая, что длины сторон равны, мы можем выразить векторы через их длины. Поскольку у нас правильный треугольник, мы имеем:

\[ |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a \]

Для вычисления длины вектора разности, используем формулу разности векторов:

\[ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - 2 |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}| \cos(\theta) \]

Где \( \theta \) — угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{AC} \). В нашем случае, в правильном треугольнике этот угол равен 60°.

Подставляя значения, получаем:

\[ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(60°) \]

Зная, что \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \):

\[ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \frac{1}{2} \] \[ = 2a^2 - a^2 = a^2 \]

Таким образом, мы имеем:

\[ |\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|^2 = a^2 \]

Теперь подставим это в равенство:

\[ a^2 = 45 \]

Следовательно, чтобы найти длину стороны, нам нужно взять квадратный корень:

\[ a = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]

Теперь найдем квадрат длины стороны треугольника:

\[ a^2 = 45 \]

Таким образом, квадрат длины стороны правильного треугольника \( ABC \) равен 45.