Для начала запишем, что мы имеем дело с правильным треугольником, то есть треугольником, в котором все стороны равны, и все углы равны 60°. Обозначим длину стороны треугольника как ( a ).
Вектор ( \overrightarrow{AB} ) обозначает сторону ( AB ) треугольника, а вектор ( \overrightarrow{AC} ) — сторону ( AC ).
Задано, что квадрат длины вектора ( \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} ) равен 45. Это можно записать в виде:
[
|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|^2 = 45
]
Теперь, учитывая, что длины сторон равны, мы можем выразить векторы через их длины. Поскольку у нас правильный треугольник, мы имеем:
[
|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a
]
Для вычисления длины вектора разности, используем формулу разности векторов:
[
|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{AC}|^2 - 2 |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}| \cos(\theta)
]
Где ( \theta ) — угол между векторами ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ). В нашем случае, в правильном треугольнике этот угол равен 60°.
Подставляя значения, получаем:
[
|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(60°)
]
Зная, что ( \cos(60°) = \frac{1}{2} ):
[
|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \frac{1}{2}
]
[
= 2a^2 - a^2 = a^2
]
Таким образом, мы имеем:
[
|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|^2 = a^2
]
Теперь подставим это в равенство:
[
a^2 = 45
]
Следовательно, чтобы найти длину стороны, нам нужно взять квадратный корень:
[
a = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
]
Теперь найдем квадрат длины стороны треугольника:
[
a^2 = 45
]
Таким образом, квадрат длины стороны правильного треугольника ( ABC ) равен 45.
