Решите Систему x2+y2=58 и xy=21

Давайте решим систему уравнений:

1. \( x^2 + y^2 = 58 \) (Уравнение 1)
2. \( xy = 21 \) (Уравнение 2)

Шаг 1: Выразим одно уравнение через другое

Первое уравнение представляет собой сумму квадратов двух величин, а второе уравнение — произведение этих же величин. Мы можем использовать второе уравнение, чтобы выразить \( y \) через \( x \):

Из уравнения 2: \[ y = \frac{21}{x} \]

Шаг 2: Подставим значение \( y \) в первое уравнение

Теперь подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение:

\[ x^2 + \left(\frac{21}{x}\right)^2 = 58 \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Раскроем квадрат: \[ x^2 + \frac{441}{x^2} = 58 \]

Умножим оба части на \( x^2 \) (при условии, что \( x \neq 0 \)): \[ x^4 - 58x^2 + 441 = 0 \]

Шаг 4: Обозначим переменную

Обозначим \( z = x^2 \). Таким образом, у нас получается квадратное уравнение: \[ z^2 - 58z + 441 = 0 \]

Шаг 5: Найдем дискриминант

Для решения этого квадратного уравнения найдем его дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 441 = 3364 - 1764 = 1600 \]

Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения

Теперь найдем корни: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 \pm \sqrt{1600}}{2} = \frac{58 \pm 40}{2} \]

Таким образом, у нас есть два варианта:

1. \( z_1 = \frac{98}{2} = 49 \)
2. \( z_2 = \frac{18}{2} = 9 \)

Шаг 7: Вернемся к \( x^2 \) и \( y^2 \)

Теперь вернемся к значениям \( z \):

1. Если \( z_1 = 49 \), то \( x^2 = 49 \) \( \Rightarrow x = 7 \) или \( x = -7 \).
2. Если \( z_2 = 9 \), то \( x^2 = 9 \) \( \Rightarrow x = 3 \) или \( x = -3 \).

Шаг 8: Найдем соответствующие \( y \)

Теперь найдем \( y \) для каждого случая, используя \( y = \frac{21}{x} \):

1. Если \( x = 7 \) или \( x = -7 \): \[ y = \frac{21}{7} = 3 \quad \text{или} \quad y = \frac{21}{-7} = -3 \]

2. Если \( x = 3 \) или \( x = -3 \): \[ y = \frac{21}{3} = 7 \quad \text{или} \quad y = \frac{21}{-3} = -7 \]

Ответ

Таким образом, мы получаем четыре решения для системы:

1. \( (7, 3) \)
2. \( (7, -3) \)
3. \( (-7, 3) \)
4. \( (-7, -3) \)
5. \( (3, 7) \)
6. \( (3, -7) \)
7. \( (-3, 7) \)
8. \( (-3, -7) \)

Вот и решение системы уравнений! Если есть вопросы или нужна помощь с другим заданием, не стесняйтесь обращаться.