Решите Систему x2+y2=58 и xy=21

Давайте решим систему уравнений: 1. \( x^2 + y^2 = 58 \) (Уравнение 1) 2. \( xy = 21 \) (Уравнение 2) ### Шаг 1: Выразим одно уравнение через другое Первое уравнение представляет собой сумму квадратов двух величин, а второе уравнение — произведение этих же величин. Мы можем использовать второе уравнение, чтобы выразить \( y \) через \( x \): Из уравнения 2: \[ y = \frac{21}{x} \] ### Шаг 2: Подставим значение \( y \) в первое уравнение Теперь подставим это выражение для \( y \) в первое уравнение: \[ x^2 + \left(\frac{21}{x}\right)^2 = 58 \] ### Шаг 3: Упростим уравнение Раскроем квадрат: \[ x^2 + \frac{441}{x^2} = 58 \] Умножим оба части на \( x^2 \) (при условии, что \( x \neq 0 \)): \[ x^4 - 58x^2 + 441 = 0 \] ### Шаг 4: Обозначим переменную Обозначим \( z = x^2 \). Таким образом, у нас получается квадратное уравнение: \[ z^2 - 58z + 441 = 0 \] ### Шаг 5: Найдем дискриминант Для решения этого квадратного уравнения найдем его дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-58)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 441 = 3364 - 1764 = 1600 \] ### Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения Теперь найдем корни: \[ z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{58 \pm \sqrt{1600}}{2} = \frac{58 \pm 40}{2} \] Таким образом, у нас есть два варианта: 1. \( z_1 = \frac{98}{2} = 49 \) 2. \( z_2 = \frac{18}{2} = 9 \) ### Шаг 7: Вернемся к \( x^2 \) и \( y^2 \) Теперь вернемся к значениям \( z \): 1. Если \( z_1 = 49 \), то \( x^2 = 49 \) \( \Rightarrow x = 7 \) или \( x = -7 \). 2. Если \( z_2 = 9 \), то \( x^2 = 9 \) \( \Rightarrow x = 3 \) или \( x = -3 \). ### Шаг 8: Найдем соответствующие \( y \) Теперь найдем \( y \) для каждого случая, используя \( y = \frac{21}{x} \): 1. Если \( x = 7 \) или \( x = -7 \): \[ y = \frac{21}{7} = 3 \quad \text{или} \quad y = \frac{21}{-7} = -3 \] 2. Если \( x = 3 \) или \( x = -3 \): \[ y = \frac{21}{3} = 7 \quad \text{или} \quad y = \frac{21}{-3} = -7 \] ### Ответ Таким образом, мы получаем четыре решения для системы: 1. \( (7, 3) \) 2. \( (7, -3) \) 3. \( (-7, 3) \) 4. \( (-7, -3) \) 5. \( (3, 7) \) 6. \( (3, -7) \) 7. \( (-3, 7) \) 8. \( (-3, -7) \) Вот и решение системы уравнений! Если есть вопросы или нужна помощь с другим заданием, не стесняйтесь обращаться.