Система x2+y2=58 и xy=21
Чтобы решить систему уравнений:
- \( x^2 + y^2 = 58 \)
- \( xy = 21 \)
давайте использовать метод замены переменных и свойства квадратов и произведений.
Шаг 1: Известные уравнения
Первое уравнение задаёт сумму квадратов переменных, а второе — их произведение:
- \( S = x + y \)
- \( P = xy \)
Шаг 2: Выразим \( x^2 + y^2 \) через \( S \) и \( P \)
Мы знаем, что:
\[ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \]
Подставляем \( S \) и \( P \):
\[ x^2 + y^2 = S^2 - 2P \]
Шаг 3: Подставим значения
Теперь подставим известные значения из уравнений:
\[ 58 = S^2 - 2 \cdot 21 \]
Упрощаем:
\[ 58 = S^2 - 42 \]
Шаг 4: Решим для \( S^2 \)
Добавим 42 к обеим сторонам:
\[ S^2 = 58 + 42 \] \[ S^2 = 100 \]
Теперь найдем \( S \):
\[ S = \sqrt{100} = 10 \quad (\text{или } S = -10, \text{ но на данном этапе рассмотри только } S = 10) \]
Шаг 5: Запишем уравнение на \( S \) и \( P \)
Теперь мы знаем, что:
- \( S = x + y = 10 \)
- \( P = xy = 21 \)
Шаг 6: Найдём корни квадратного уравнения
Корни \( x \) и \( y \) можно найти, подставив значения \( S \) и \( P \) в квадратное уравнение:
\[ t^2 - St + P = 0 \]
Подставим известные значения:
\[ t^2 - 10t + 21 = 0 \]
Шаг 7: Находим дискриминант
Теперь найдём дискриминант (D):
\[ D = S^2 - 4P = 10^2 - 4 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 \]
Шаг 8: Находим корни
Теперь находим корни уравнения:
\[ t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{10 \pm 4}{2} \]
Таким образом, корни будут:
- \( t_1 = \frac{14}{2} = 7 \)
- \( t_2 = \frac{6}{2} = 3 \)
Шаг 9: Итак, получили значения \( x \) и \( y \)
Мы получили, что:
\( x = 7 \) и \( y = 3 \) (или наоборот).
Ответ
Значения \( x \) и \( y \) в системе:
- \( x = 7 \)
- \( y = 3 \)
Теперь вы можете проверить результаты, подставив значения в исходные уравнения, чтобы убедиться, что они верны.
