Система x2+y2=58 и xy=21

Чтобы решить систему уравнений: 1. \( x^2 + y^2 = 58 \) 2. \( xy = 21 \) давайте использовать метод замены переменных и свойства квадратов и произведений. ### Шаг 1: Известные уравнения Первое уравнение задаёт сумму квадратов переменных, а второе — их произведение: - \( S = x + y \) - \( P = xy \) ### Шаг 2: Выразим \( x^2 + y^2 \) через \( S \) и \( P \) Мы знаем, что: \[ x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy \] Подставляем \( S \) и \( P \): \[ x^2 + y^2 = S^2 - 2P \] ### Шаг 3: Подставим значения Теперь подставим известные значения из уравнений: \[ 58 = S^2 - 2 \cdot 21 \] Упрощаем: \[ 58 = S^2 - 42 \] ### Шаг 4: Решим для \( S^2 \) Добавим 42 к обеим сторонам: \[ S^2 = 58 + 42 \] \[ S^2 = 100 \] Теперь найдем \( S \): \[ S = \sqrt{100} = 10 \quad (\text{или } S = -10, \text{ но на данном этапе рассмотри только } S = 10) \] ### Шаг 5: Запишем уравнение на \( S \) и \( P \) Теперь мы знаем, что: - \( S = x + y = 10 \) - \( P = xy = 21 \) ### Шаг 6: Найдём корни квадратного уравнения Корни \( x \) и \( y \) можно найти, подставив значения \( S \) и \( P \) в квадратное уравнение: \[ t^2 - St + P = 0 \] Подставим известные значения: \[ t^2 - 10t + 21 = 0 \] ### Шаг 7: Находим дискриминант Теперь найдём дискриминант (D): \[ D = S^2 - 4P = 10^2 - 4 \cdot 21 = 100 - 84 = 16 \] ### Шаг 8: Находим корни Теперь находим корни уравнения: \[ t_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{10 \pm 4}{2} \] Таким образом, корни будут: 1. \( t_1 = \frac{14}{2} = 7 \) 2. \( t_2 = \frac{6}{2} = 3 \) ### Шаг 9: Итак, получили значения \( x \) и \( y \) Мы получили, что: \( x = 7 \) и \( y = 3 \) (или наоборот). ### Ответ Значения \( x \) и \( y \) в системе: - \( x = 7 \) - \( y = 3 \) Теперь вы можете проверить результаты, подставив значения в исходные уравнения, чтобы убедиться, что они верны.