Задание №22 Сообщить об ошибке 22. Построй график функции y = ( x 2 − 9 ) ( x + 2 ) − x − 2 y= −x−2 (x 2 −9)(x+2) ​ и определи, при каком значении k k прямая y = k x y=kx имеет с…

Чтобы решить задачу и построить график функции \( y = (x^2 - 9)(x + 2) - x - 2 \), а также определить значение \( k \), при котором прямая \( y = kx \) имеет с графиком функции ровно одну общую точку, давайте пройдемся по шагам.

Шаг 1: Упростим функцию

Начнем с упрощения функции \( y = (x^2 - 9)(x + 2) - x - 2 \).

1. Раскроем скобки: \[ y = (x^2 - 9)(x + 2) = x^2 \cdot x + 2x^2 - 9x - 18 = x^3 + 2x^2 - 9x - 18 \]
2. Затем вычтем \( x + 2 \): \[ y = x^3 + 2x^2 - 9x - 18 - x - 2 = x^3 + 2x^2 - 10x - 20 \]

Таким образом, мы имеем функцию: \[ y = x^3 + 2x^2 - 10x - 20 \]

Шаг 2: Построение графика функции

Чтобы построить график, нам нужно найти нули функции (где \( y = 0 \)) и изучить поведение функции.

1. Найдем корни уравнения \( x^3 + 2x^2 - 10x - 20 = 0 \). Это кубическое уравнение, для поиска корней можно воспользоваться методом подбора или графическим методом.

Проверим некоторые значения \( x \):

• \( x = -4: (-4)^3 + 2(-4)^2 - 10(-4) - 20 = -64 + 32 + 40 - 20 = -12 \) (не корень)
• \( x = -3: (-3)^3 + 2(-3)^2 - 10(-3) - 20 = -27 + 18 + 30 - 20 = 1 \) (не корень)
• \( x = -2: (-2)^3 + 2(-2)^2 - 10(-2) - 20 = -8 + 8 + 20 - 20 = 0 \) (корень)

У нас есть один корень: \( x = -2 \).

Теперь можно воспользоваться делением для нахождения других корней. Разделим многочлен на \( x + 2 \) с помощью деления многочленов (или synthetic division).

\[ x^3 + 2x^2 - 10x - 20 = (x + 2)(x^2 - 10) \]

Теперь решим \( x^2 - 10 = 0 \), что дает: \[ x = \pm \sqrt{10} \]

Таким образом, у нас есть три корня: \( x = -2, x = \sqrt{10}, x = -\sqrt{10} \).

Шаг 3: Определение значения \( k \)

Для нахождения значения \( k \), при котором прямая \( y = kx \) касается графика функции (имеет одну общую точку), необходимо, чтобы система уравнений имела единственное решение. Это случается, когда дискриминант уравнения \( (x^3 + 2x^2 - (10+k)x - 20 = 0) \) равен нулю.

Итак, мы ищем \( k \), при котором: \[ x^3 + 2x^2 - (10 + k)x - 20 = 0 \]

Здесь происходит касание, если кубический многочлен имеет ровно один корень. Мы исследуем наличие кратного корня, используя производную:

Находим первую производную: \[ f'(x) = 3x^2 + 4x - (10 + k) \]

Решаем уравнение \( f'(x) = 0 \) и ищем, когда это уравнение имеет один корень (его дискриминант должен быть равен 0): \[ D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-(10 + k)) = 4 + 12(10 + k) = 4 + 120 + 12k \] Для \( D = 0 \) имеем: \[ 124 + 12k = 0 \implies k = -\frac{124}{12} = -\frac{31}{3} \]

Ответ

Значение \( k \), при котором прямая \( y = kx \) имеет с графиком функции ровно одну общую точку, равно \( k = -\frac{31}{3} \).

Теперь график функции и прямая смогут быть построены визуально, и вы сможете увидеть, как они взаимодействуют.