Lg (x 9) + lg (27 - 2x)

Давайте решим задачу, используя свойства логарифмов. У нас есть выражение: \[ \lg(x \cdot 9) + \lg(27 - 2x) \] ### Шаг 1: Применим свойства логарифмов Мы можем использовать свойство логарифмов, которое говорит, что: \[ \lg(a) + \lg(b) = \lg(a \cdot b) \] Применим это свойство к нашему выражению: \[ \lg(x \cdot 9) + \lg(27 - 2x) = \lg(9x(27 - 2x)) \] ### Шаг 2: Выразим уравнение Если вам нужно, чтобы это выражение равнялось какому-то числу (например, 0 или 1), мы пишем уравнение: \[ \lg(9x(27 - 2x)) = 0 \] ### Шаг 3: Преобразуем логарифм Из определения логарифма, если \(\lg(a) = 0\), это значит, что \(a = 10^0 = 1\). Таким образом, мы получаем: \[ 9x(27 - 2x) = 1 \] ### Шаг 4: Раскроем скобки и упростим Раскроем скобки: \[ 9x \cdot 27 - 9x \cdot 2x = 1 \] Это упростится до: \[ 243x - 18x^2 = 1 \] ### Шаг 5: Переносим все в одну сторону Переносим 1 в левую часть: \[ -18x^2 + 243x - 1 = 0 \] Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака: \[ 18x^2 - 243x + 1 = 0 \] ### Шаг 6: Используем формулу квадратного уравнения Теперь мы можем использовать дискриминант \(D = b^2 - 4ac\): - \(a = 18\), - \(b = -243\), - \(c = 1\). Дискриминант будет равен: \[ D = (-243)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 1 = 59049 - 72 = 58977 \] ### Шаг 7: Найдем корни уравнения Корни квадратного уравнения можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения: \[ x = \frac{243 \pm \sqrt{58977}}{2 \cdot 18} \] ### Шаг 8: Найдем значение \(\sqrt{58977}\) Приблизительное значение \(\sqrt{58977}\) примерно равно 242. Находим: \[ x = \frac{243 \pm 242}{36} \] Это дает два решения: 1. \( x_1 = \frac{243 + 242}{36} = \frac{485}{36} \approx 13.472 \) 2. \( x_2 = \frac{243 - 242}{36} = \frac{1}{36} \approx 0.0278 \) ### Шаг 9: Проверка значений Необходимо проверить, что \( x \) удовлетворяет условию, что выражение под логарифмом положительно: - Для \( x_1 \approx 13.472 \): - \( 9 \cdot 13.472 > 0 \) и \( 27 - 2 \cdot 13.472 > 0 \) (это условие не выполняется). - Для \( x_2 \approx 0.0278 \): - \( 9 \cdot 0.0278 > 0 \) и \( 27 - 2 \cdot 0.0278 > 0\) (это условие выполняется). Значит, единственным допустимым решением будет \( x \approx 0.0278 \). ### Заключение В итоге мы получили, что \( x \approx 0.0278 \) – это единственное решение исходного логарифмического уравнения. Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другой задачей, не стесняйтесь обращаться!