X³+4x²=9x+36

Рассмотрим уравнение \( x^3 + 4x^2 = 9x + 36 \). Мы начнем с того, чтобы привести его к стандартному виду, чтобы понять, как решить его. ### Шаг 1: Переносим все члены в одну сторону Нам нужно привести уравнение к виду \( 0 = f(x) \). Для этого мы перенесем все члены из правой части в левую сторону: \[ x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0 \] Теперь наше уравнение имеет вид \( f(x) = x^3 + 4x^2 - 9x - 36 \). ### Шаг 2: Поиск корней уравнения Чтобы решить уравнение, мы можем попробовать найти корни методом подбора или воспользоваться теорией деления многочленов. #### Подбор корней Начнем с подбора простых значений (целых чисел): - \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 + 4 \cdot 2^2 - 9 \cdot 2 - 36 = 8 + 16 - 18 - 36 = -30 \quad (\text{не корень}) \] - \( x = -3 \): \[ f(-3) = (-3)^3 + 4 \cdot (-3)^2 - 9 \cdot (-3) - 36 = -27 + 36 + 27 - 36 = 0 \quad (\text{корень}) \] Мы нашли, что \( x = -3 \) является корнем уравнения. Теперь мы можем разделить наш многочлен на \( (x + 3) \) с помощью деления многочлена. ### Шаг 3: Деление многочлена Делим \( x^3 + 4x^2 - 9x - 36 \) на \( x + 3 \). При делении многочлена по схеме синтетического деления: 1. Записываем коэффициенты: \( 1, 4, -9, -36 \). 2. Записываем корень \( -3 \): ``` -3 | 1 4 -9 -36 | -3 -3 36 ---------------------- 1 1 -12 0 ``` Таким образом, после деления мы получаем: \[ x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = (x + 3)(x^2 + x - 12) \] ### Шаг 4: Решение квадратного уравнения Теперь нам нужно решить квадратное уравнение \( x^2 + x - 12 = 0 \). Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = 1, c = -12 \). Вычислим дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \] Теперь подставим дискриминант в формулу: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} \] Таким образом: - Первый корень: \[ x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] - Второй корень: \[ x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] ### Шаг 5: Ответ Теперь мы можем записать все корни нашего исходного уравнения: 1. \( x = -3 \) 2. \( x = 3 \) 3. \( x = -4 \) Таким образом, все корни уравнения \( x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0 \) это: \[ x = -3, \quad x = 3, \quad x = -4 \]