x³+4x²=9x+36

Рассмотрим уравнение \( x^3 + 4x^2 = 9x + 36 \). Мы начнем с того, чтобы привести его к стандартному виду, чтобы понять, как решить его.

Шаг 1: Переносим все члены в одну сторону

Нам нужно привести уравнение к виду \( 0 = f(x) \). Для этого мы перенесем все члены из правой части в левую сторону:

\[ x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0 \]

Теперь наше уравнение имеет вид \( f(x) = x^3 + 4x^2 - 9x - 36 \).

Шаг 2: Поиск корней уравнения

Чтобы решить уравнение, мы можем попробовать найти корни методом подбора или воспользоваться теорией деления многочленов.

Подбор корней

Начнем с подбора простых значений (целых чисел):

• \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 + 4 \cdot 2^2 - 9 \cdot 2 - 36 = 8 + 16 - 18 - 36 = -30 \quad (\text{не корень}) \]
• \( x = -3 \): \[ f(-3) = (-3)^3 + 4 \cdot (-3)^2 - 9 \cdot (-3) - 36 = -27 + 36 + 27 - 36 = 0 \quad (\text{корень}) \]

Мы нашли, что \( x = -3 \) является корнем уравнения. Теперь мы можем разделить наш многочлен на \( (x + 3) \) с помощью деления многочлена.

Шаг 3: Деление многочлена

Делим \( x^3 + 4x^2 - 9x - 36 \) на \( x + 3 \).

При делении многочлена по схеме синтетического деления:

1. Записываем коэффициенты: \( 1, 4, -9, -36 \).
2. Записываем корень \( -3 \):

-3 |  1   4   -9   -36
   |      -3    -3    36
   ----------------------
     1   1   -12    0

Таким образом, после деления мы получаем:

\[ x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = (x + 3)(x^2 + x - 12) \]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение \( x^2 + x - 12 = 0 \). Мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = 1, c = -12 \).

Вычислим дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]

Теперь подставим дискриминант в формулу:

\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]

Таким образом:

• Первый корень: \[ x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

• Второй корень: \[ x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Шаг 5: Ответ

Теперь мы можем записать все корни нашего исходного уравнения:

1. \( x = -3 \)
2. \( x = 3 \)
3. \( x = -4 \)

Таким образом, все корни уравнения \( x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0 \) это: \[ x = -3, \quad x = 3, \quad x = -4 \]