Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, где известен периметр и гипотенуза, мы начнем с формулировки шагов, необходимых для нахождения площади треугольника. ### Дано: - Периметр \(P = 84\) см - Гипотенуза \(c = 37\) см - Обозначим катеты как \(a\) и \(b\). ### Шаг 1: Составим уравнение для периметра. Периметр прямоугольного треугольника можно выразить так: \[ P = a + b + c \] Подставим известные значения: \[ 84 = a + b + 37 \] ### Шаг 2: Найдем сумму катетов \(a + b\). Теперь упростим это уравнение: \[ a + b = 84 - 37 = 47 \] ### Шаг 3: Используем теорему Пифагора. Для прямоугольного треугольника справедливо: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставляем значение гипотенузы \(c = 37\): \[ a^2 + b^2 = 37^2 = 1369 \] Теперь у нас есть два уравнения: 1. \(a + b = 47\) (1) 2. \(a^2 + b^2 = 1369\) (2) ### Шаг 4: Используем квадрат суммы. Из уравнения (1) можем выразить один катет через другой. Например, выразим \(b\): \[ b = 47 - a \] Теперь подставим \(b\) в уравнение (2): \[ a^2 + (47 - a)^2 = 1369 \] ### Шаг 5: Раскроем скобки и упростим. Раскроем квадрат: \[ a^2 + (47^2 - 2 \cdot 47 \cdot a + a^2) = 1369 \] \[ a^2 + 2209 - 94a + a^2 = 1369 \] \[ 2a^2 - 94a + 2209 - 1369 = 0 \] \[ 2a^2 - 94a + 840 = 0 \] ### Шаг 6: Упростим уравнение. Чтобы упростить, разделим все коэффициенты на 2: \[ a^2 - 47a + 420 = 0 \] ### Шаг 7: Найдем корни уравнения. Используем дискриминант для нахождения корней: \[ D = b^2 - 4ac = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420 = 2209 - 1680 = 529 \] Так как \(D > 0\), у нас два действительных корня. Найдем их: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{47 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{47 \pm 23}{2} \] ### Шаг 8: Найдем оба катета \(a\) и \(b\). 1. \(a_1 = \frac{70}{2} = 35\) см 2. \(a_2 = \frac{24}{2} = 12\) см Таким образом, \(a = 35\) см и \(b = 12\) см (или наоборот). ### Шаг 9: Найдем площадь треугольника. Площадь \(S\) прямоугольного треугольника обозначается формулой: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 420 = 210 \text{ см}^2 \] ### Ответ: Площадь данного прямоугольного треугольника равна \(210\) см².