периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.
Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, где известен периметр и гипотенуза, мы начнем с формулировки шагов, необходимых для нахождения площади треугольника.
Дано:
- Периметр \(P = 84\) см
- Гипотенуза \(c = 37\) см
- Обозначим катеты как \(a\) и \(b\).
Шаг 1: Составим уравнение для периметра.
Периметр прямоугольного треугольника можно выразить так: \[ P = a + b + c \]
Подставим известные значения: \[ 84 = a + b + 37 \]
Шаг 2: Найдем сумму катетов \(a + b\).
Теперь упростим это уравнение: \[ a + b = 84 - 37 = 47 \]
Шаг 3: Используем теорему Пифагора.
Для прямоугольного треугольника справедливо: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставляем значение гипотенузы \(c = 37\): \[ a^2 + b^2 = 37^2 = 1369 \]
Теперь у нас есть два уравнения:
- \(a + b = 47\) (1)
- \(a^2 + b^2 = 1369\) (2)
Шаг 4: Используем квадрат суммы.
Из уравнения (1) можем выразить один катет через другой. Например, выразим \(b\): \[ b = 47 - a \] Теперь подставим \(b\) в уравнение (2): \[ a^2 + (47 - a)^2 = 1369 \]
Шаг 5: Раскроем скобки и упростим.
Раскроем квадрат: \[ a^2 + (47^2 - 2 \cdot 47 \cdot a + a^2) = 1369 \] \[ a^2 + 2209 - 94a + a^2 = 1369 \] \[ 2a^2 - 94a + 2209 - 1369 = 0 \] \[ 2a^2 - 94a + 840 = 0 \]
Шаг 6: Упростим уравнение.
Чтобы упростить, разделим все коэффициенты на 2: \[ a^2 - 47a + 420 = 0 \]
Шаг 7: Найдем корни уравнения.
Используем дискриминант для нахождения корней: \[ D = b^2 - 4ac = (-47)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 420 = 2209 - 1680 = 529 \]
Так как \(D > 0\), у нас два действительных корня. Найдем их: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{47 \pm \sqrt{529}}{2} = \frac{47 \pm 23}{2} \]
Шаг 8: Найдем оба катета \(a\) и \(b\).
- \(a_1 = \frac{70}{2} = 35\) см
- \(a_2 = \frac{24}{2} = 12\) см
Таким образом, \(a = 35\) см и \(b = 12\) см (или наоборот).
Шаг 9: Найдем площадь треугольника.
Площадь \(S\) прямоугольного треугольника обозначается формулой: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 420 = 210 \text{ см}^2 \]
Ответ:
Площадь данного прямоугольного треугольника равна \(210\) см².
