Для решения задачи, давайте обозначим несколько переменных:
- ( v ) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч).
- ( v_t = 3 ) км/ч — скорость течения реки.
Когда лодка движется вниз по течению (по направлению течения), ее скорость равна:
[
v + v_t = v + 3
]
Когда лодка возвращается вверх против течения, ее скорость равна:
[
v - v_t = v - 3
]
Лодка прошла 30 км в одну сторону и 30 км в другую сторону. Время, затраченное на движение, суммируется и равно 5 ч 20 мин, что можно перевести в часы:
[
5 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 5 + \frac{20}{60} = 5 + \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \text{ ч }
]
Теперь мы можем выразить время, затраченное на каждую часть пути:
Время, затраченное на путь вниз по течению:
[
t_1 = \frac{30}{v + 3}
]
Время, затраченное на путь вверх против течения:
[
t_2 = \frac{30}{v - 3}
]
Общее время равно:
[
t_1 + t_2 = \frac{30}{v + 3} + \frac{30}{v - 3} = \frac{16}{3}
]
Теперь упростим это уравнение. Найдем общий знаменатель, который равен ((v + 3)(v - 3)):
[
\frac{30(v - 3) + 30(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = \frac{30v - 90 + 30v + 90}{(v + 3)(v - 3)} = \frac{60v}{(v + 3)(v - 3)}
]
Теперь наше уравнение выглядит так:
[
\frac{60v}{(v + 3)(v - 3)} = \frac{16}{3}
]
Теперь мы будем умножать обе стороны уравнения на ((v + 3)(v - 3)) и 3, чтобы избавиться от дробей:
[
60v \cdot 3 = 16(v^2 - 9)
]
[
180v = 16v^2 - 144
]
Теперь перенесем все влево:
[
16v^2 - 180v - 144 = 0
]
Разделим все коэффициенты на 4 для упрощения:
[
4v^2 - 45v - 36 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 4, b = -45, c = -36 ).
Сначала найдем дискриминант:
[
D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601
]
Теперь найдем корни:
[
v = \frac{45 \pm \sqrt{2601}}{8}
]
( \sqrt{2601} = 51 ), следовательно:
[
v = \frac{45 \pm 51}{8}
]
Это дает два корня:
- ( v = \frac{96}{8} = 12 ) (скорость в стоячей воде)
- ( v = \frac{-6}{8} = -0.75 ) (некорректный корень, поскольку скорость не может быть отрицательной)
Таким образом, скорость лодки в стоячей воде равна ( 12 ) км/ч.
