Моторная лодка прошла 30 км по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь 5 ч 20 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения…

Для решения задачи, давайте обозначим несколько переменных:

• \( v \) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч).
• \( v_t = 3 \) км/ч — скорость течения реки.

Когда лодка движется вниз по течению (по направлению течения), ее скорость равна: \[ v + v_t = v + 3 \] Когда лодка возвращается вверх против течения, ее скорость равна: \[ v - v_t = v - 3 \]

Лодка прошла 30 км в одну сторону и 30 км в другую сторону. Время, затраченное на движение, суммируется и равно 5 ч 20 мин, что можно перевести в часы: \[ 5 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 5 + \frac{20}{60} = 5 + \frac{1}{3} = \frac{16}{3} \text{ ч } \]

Теперь мы можем выразить время, затраченное на каждую часть пути:

1. Время, затраченное на путь вниз по течению: \[ t_1 = \frac{30}{v + 3} \]

2. Время, затраченное на путь вверх против течения: \[ t_2 = \frac{30}{v - 3} \]

Общее время равно: \[ t_1 + t_2 = \frac{30}{v + 3} + \frac{30}{v - 3} = \frac{16}{3} \]

Теперь упростим это уравнение. Найдем общий знаменатель, который равен \((v + 3)(v - 3)\): \[ \frac{30(v - 3) + 30(v + 3)}{(v + 3)(v - 3)} = \frac{30v - 90 + 30v + 90}{(v + 3)(v - 3)} = \frac{60v}{(v + 3)(v - 3)} \]

Теперь наше уравнение выглядит так: \[ \frac{60v}{(v + 3)(v - 3)} = \frac{16}{3} \]

Теперь мы будем умножать обе стороны уравнения на \((v + 3)(v - 3)\) и 3, чтобы избавиться от дробей: \[ 60v \cdot 3 = 16(v^2 - 9) \] \[ 180v = 16v^2 - 144 \] Теперь перенесем все влево: \[ 16v^2 - 180v - 144 = 0 \]

Разделим все коэффициенты на 4 для упрощения: \[ 4v^2 - 45v - 36 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 4, b = -45, c = -36 \).

Сначала найдем дискриминант: \[ D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601 \]

Теперь найдем корни: \[ v = \frac{45 \pm \sqrt{2601}}{8} \]

\( \sqrt{2601} = 51 \), следовательно: \[ v = \frac{45 \pm 51}{8} \]

Это дает два корня:

1. \( v = \frac{96}{8} = 12 \) (скорость в стоячей воде)
2. \( v = \frac{-6}{8} = -0.75 \) (некорректный корень, поскольку скорость не может быть отрицательной)

Таким образом, скорость лодки в стоячей воде равна \( 12 \) км/ч.