1. В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару дежурных…

Давайте разберем задачу по шагам.

Часть 1: Выбор дежурных по классу

1. а) Пара дежурных: мальчик и девочка.

   Для того чтобы выбрать одного мальчика и одну девочку:

   • У нас 15 девочек.
   • У нас 13 мальчиков.

   Чтобы найти общее количество способов выбрать одного мальчика и одну девочку, мы умножаем количество вариантов выбора девочки на количество вариантов выбора мальчика:

   \[ Количество способов = Количество девочек \times Количество мальчиков = 15 \times 13 = 195. \]

   Ответ: 195 способов.

2. б) Без указанного условия.

   Здесь мы можем выбрать любых двух учеников из всего класса. Всего в классе 15 девочек и 13 мальчиков, итого 28 учеников.

   Мы можем выбрать 2 учеников из 28, используя формулу комбинаторики для сочетаний:

   \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}, \]

   где \( n \) — общее количество учеников, а \( k \) — количество выбираемых учеников.

   Подставим значения:

   \[ C(28, 2) = \frac{28!}{2!(28-2)!} = \frac{28 \times 27}{2 \times 1} = 378. \]

   Ответ: 378 способов.

Часть 2: Выбор группы из трех человек для посещения заболевшего ученика

1. а) Все члены группы – девочки.

   Мы выбираем 3 девочки из 15. Используем ту же формулу сочетаний:

   \[ C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455. \]

   Ответ: 455 способов.

2. б) Все члены группы – мальчики.

   Мы выбираем 3 мальчика из 13:

   \[ C(13, 3) = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286. \]

   Ответ: 286 способов.

3. в) В группе 1 девочка и 2 мальчика.

   Чтобы найти количество способов выбрать 1 девочку и 2 мальчика:

   • Выбор 1 девочки из 15: \( C(15, 1) = 15. \)
   • Выбор 2 мальчиков из 13: \( C(13, 2) = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78. \)

   Общее количество способов будет:

   \[ Количество способов = C(15, 1) \times C(13, 2) = 15 \times 78 = 1170. \]

   Ответ: 1170 способов.

4. г) В группе 2 девочки и 1 мальчик.

   Аналогично:

   • Выбор 2 девочек из 15: \( C(15, 2) = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105. \)
   • Выбор 1 мальчика из 13: \( C(13, 1) = 13. \)

   Общее количество способов будет:

   \[ Количество способов = C(15, 2) \times C(13, 1) = 105 \times 13 = 1365. \]

   Ответ: 1365 способов.

Резюме

1. Количество способов выбрать дежурных:

   • а) 195 (мальчик и девочка)
   • б) 378 (без условий)

2. Количество способов выбрать группу:

   • а) 455 (все девочки)
   • б) 286 (все мальчики)
   • в) 1170 (1 девочка и 2 мальчика)
   • г) 1365 (2 девочки и 1 мальчик)