1. В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару дежурных обязательно должны составить мальчик и девочка, б) без указанного условия? 2. В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшего ученика этого класса. Сколькими способами это можно сделать, если а) все члены этой группы – девочки; б) все члены этой группы – мальчики; в) в группе 1 девочка и 2 мальчика; г) в группе 2 девочки и 1 мальчик?

Давайте разберем задачу по шагам. ### Часть 1: Выбор дежурных по классу 1. **а) Пара дежурных: мальчик и девочка.** Для того чтобы выбрать одного мальчика и одну девочку: - У нас 15 девочек. - У нас 13 мальчиков. Чтобы найти общее количество способов выбрать одного мальчика и одну девочку, мы умножаем количество вариантов выбора девочки на количество вариантов выбора мальчика: \[ Количество способов = Количество девочек \times Количество мальчиков = 15 \times 13 = 195. \] **Ответ:** 195 способов. 2. **б) Без указанного условия.** Здесь мы можем выбрать любых двух учеников из всего класса. Всего в классе 15 девочек и 13 мальчиков, итого 28 учеников. Мы можем выбрать 2 учеников из 28, используя формулу комбинаторики для сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}, \] где \( n \) — общее количество учеников, а \( k \) — количество выбираемых учеников. Подставим значения: \[ C(28, 2) = \frac{28!}{2!(28-2)!} = \frac{28 \times 27}{2 \times 1} = 378. \] **Ответ:** 378 способов. --- ### Часть 2: Выбор группы из трех человек для посещения заболевшего ученика 1. **а) Все члены группы – девочки.** Мы выбираем 3 девочки из 15. Используем ту же формулу сочетаний: \[ C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455. \] **Ответ:** 455 способов. 2. **б) Все члены группы – мальчики.** Мы выбираем 3 мальчика из 13: \[ C(13, 3) = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286. \] **Ответ:** 286 способов. 3. **в) В группе 1 девочка и 2 мальчика.** Чтобы найти количество способов выбрать 1 девочку и 2 мальчика: - Выбор 1 девочки из 15: \( C(15, 1) = 15. \) - Выбор 2 мальчиков из 13: \( C(13, 2) = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78. \) Общее количество способов будет: \[ Количество способов = C(15, 1) \times C(13, 2) = 15 \times 78 = 1170. \] **Ответ:** 1170 способов. 4. **г) В группе 2 девочки и 1 мальчик.** Аналогично: - Выбор 2 девочек из 15: \( C(15, 2) = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105. \) - Выбор 1 мальчика из 13: \( C(13, 1) = 13. \) Общее количество способов будет: \[ Количество способов = C(15, 2) \times C(13, 1) = 105 \times 13 = 1365. \] **Ответ:** 1365 способов. --- ### Резюме 1. Количество способов выбрать дежурных: - а) 195 (мальчик и девочка) - б) 378 (без условий) 2. Количество способов выбрать группу: - а) 455 (все девочки) - б) 286 (все мальчики) - в) 1170 (1 девочка и 2 мальчика) - г) 1365 (2 девочки и 1 мальчик)