1. В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару дежурных…
1. В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару дежурных обязательно должны составить мальчик и девочка, б) без указанного условия? 2. В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшего ученика этого класса. Сколькими способами это можно сделать, если а) все члены этой группы – девочки; б) все члены этой группы – мальчики; в) в группе 1 девочка и 2 мальчика; г) в группе 2 девочки и 1 мальчик?
Давайте решим ваши задачи поэтапно и подробно.
Задача 1
1.1 Выбор дежурных с условием
Условие: Пара дежурных должна состоять из мальчика и девочки.
- Выберем девочку: У нас есть 15 девочек, значит, есть 15 способов её выбрать.
- Выберем мальчика: У нас есть 13 мальчиков, значит, есть 13 способов его выбрать.
Теперь, чтобы найти общее количество способов выбрать пару дежурных (один мальчик и одна девочка), мы перемножим количество способов:
\[ \text{Количество способов} = \text{Способы выбрать девочку} \times \text{Способы выбрать мальчика} = 15 \times 13 = 195. \]
1.2 Выбор дежурных без условий
Теперь рассчитаем количество способов выбрать двух дежурных без условий.
- Общее количество учеников: \[ 15 \, (\text{девочки}) + 13 \, (\text{мальчики}) = 28 \text{ учеников}. \]
- Выбор 2-х дежурных из 28: Для этого воспользуемся формулой сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В данном случае \( n = 28 \) и \( k = 2 \): \[ C(28, 2) = \frac{28!}{2! \times (28-2)!} = \frac{28 \times 27}{2 \times 1} = 378. \]
Таким образом, ответы на первую задачу:
а) 195 способов (один мальчик и одна девочка)
б) 378 способов (без указания пола)
Задача 2
Теперь перейдем ко второй задаче о создании группы из трёх человек.
2.1 Все члены группы — девочки
Для выбора трёх девочек из 15 используем формулу сочетаний:
\[ C(15, 3) = \frac{15!}{3! \times (15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455. \]
2.2 Все члены группы — мальчики
Теперь выбираем трёх мальчиков из 13:
\[ C(13, 3) = \frac{13!}{3! \times (13-3)!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286. \]
2.3 Группа из 1 девочки и 2 мальчиков
- Выбираем девочку: 15 способов.
- Выбираем 2 мальчиков из 13: \[ C(13, 2) = \frac{13!}{2! \times (13-2)!} = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78. \]
- Общее количество способов: \[ 15 \times 78 = 1170. \]
2.4 Группа из 2 девочек и 1 мальчика
- Выбираем 2 девочки из 15: \[ C(15, 2) = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105. \]
- Выбираем мальчика: 13 способов.
- Общее количество способов: \[ 105 \times 13 = 1365. \]
Ответы на вторую задачу:
а) 455 способов (все девочки)
б) 286 способов (все мальчики)
в) 1170 способов (1 девочка и 2 мальчика)
г) 1365 способов (2 девочки и 1 мальчик)
Эти вычисления помогут вам лучше понять, как решаются такие задачи на сочетания и выборы. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
