Чтобы найти длину отрезка ( AC ) в треугольнике ( \triangle ABC ) с данными углами и одной известной стороной, можно использовать теорему синусов. Давайте рассмотрим шаги решения.
Дано:
- (\angle BAC = 30^\circ)
- (\angle ACD = 60^\circ)
- (AD = 5)
Так как сумма углов в треугольнике равна (180^\circ), найдём угол ( \angle CAD ):
[
\angle CAD = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACD) = 180^\circ - (30^\circ + 60^\circ) = 90^\circ
]
Этот угол ( \angle CAD ) означает, что треугольник ( ACD ) прямоугольный, и ( AD ) является перпендикуляром к ( CD ).
Найдём длину ( AC ):
Так как ( \angle CAD = 90^\circ ), и ( \angle BAC = 30^\circ ), используем определение косинуса в прямоугольном треугольнике:
[
\cos(30^\circ) = \frac{AD}{AC}
]
Подставляем известные значения:
[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{AC}
]
Отсюда найдём ( AC ):
[
AC = \frac{5 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}
]
Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{3}) для рационализации:
[
AC = \frac{10\sqrt{3}}{3}
]
Таким образом, длина ( AC ) составляет (\frac{10\sqrt{3}}{3}).
