Давайте решим задачу, используя данный синус угла ( a ) и информацию о его расположении в третьей четверти.
Шаг 1: Заданные параметры
Из условия задачи известно:
- ( \sin a = -\frac{3\sqrt{5}}{7} )
- Угол ( a ) находится в третьей четверти.
Шаг 2: Связь между синусом и косинусом
Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:
[
\sin^2 a + \cos^2 a = 1
]
Из этого уравнения мы можем выразить ( \cos^2 a ):
[
\cos^2 a = 1 - \sin^2 a
]
Шаг 3: Вычисление ( \sin^2 a )
Подставим значение ( \sin a ):
[
\sin^2 a = \left(-\frac{3\sqrt{5}}{7}\right)^2 = \frac{(3\sqrt{5})^2}{7^2} = \frac{9 \cdot 5}{49} = \frac{45}{49}
]
Шаг 4: Подставление в тождество
Теперь подставим ( \sin^2 a ) в уравнение для ( \cos^2 a ):
[
\cos^2 a = 1 - \frac{45}{49}
]
Чтобы вычесть дробь, преобразуем 1 в дробь с тем же знаменателем:
[
1 = \frac{49}{49}
]
Следовательно:
[
\cos^2 a = \frac{49}{49} - \frac{45}{49} = \frac{4}{49}
]
Шаг 5: Найти ( \cos a )
Теперь найдем ( \cos a ) путем извлечения квадратного корня:
[
\cos a = \pm \sqrt{\cos^2 a} = \pm \sqrt{\frac{4}{49}} = \pm \frac{2}{7}
]
Шаг 6: Определение знака косинуса
Так как угол ( a ) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, мы выбираем отрицательное значение:
[
\cos a = -\frac{2}{7}
]
Ответ
Таким образом, значение ( \cos a = -\frac{2}{7} ).
