Среднее арифметическое 8 различных натуральных чисел равно 13. Среднее арифметическое этих чисел и девятого числа равно 14. Чему равно девятое число?

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Определим известные значения:

   • Пусть 8 разных натуральных чисел обозначаются как \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8\).
   • Из условия задачи знаем, что среднее арифметическое этих чисел равно 13. Это можно записать так: \[ \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8}{8} = 13 \] Умножив обе стороны уравнения на 8, получим: \[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 104 \]

2. Теперь добавим девятое число:

   • Обозначим девятое число как \(a_9\). По условию, среднее арифметическое 8 чисел и 9 числа равно 14: \[ \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9}{9} = 14 \] Умножим обе стороны на 9: \[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 = 126 \]

3. Теперь у нас есть два уравнения:

   • \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 104\) (1)
   • \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 = 126\) (2)

4. Вычтем (1) из (2): \[ (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9) - (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8) = 126 - 104 \] Это упрощается до: \[ a_9 = 22 \]

Итак, девятое число \(a_9\) равно 22.