1.найдите 3й член арифметической прогрессии хn,если х-1=4 и d=-3 2.найдите сумму 10первых членов арифметической прогрессии -3;5;13;… 3.найдите сумму 6 первых членов…

Давайте рассмотрим каждую из задач по отдельности и подробнее объясним, как их решить.

Задача 1: Найдите 3-й член арифметической прогрессии \(x_n\), если \(x - 1 = 4\) и \(d = -3\).

Шаг 1: Определите значение \(x\): \[ x - 1 = 4 \] \[ x = 4 + 1 = 5 \]

Шаг 2: Помните, что первый член прогрессии \(x_1\) равен 5 (то есть \(x_1 = 5\)) и \(d = -3\).

Шаг 3: Найдите 3-й член (то есть \(x_3\)) по формуле: \[ x_n = x_1 + (n - 1) \cdot d \]

Подставляем \(n = 3\): \[ x_3 = 5 + (3 - 1) \cdot (-3) \] \[ x_3 = 5 + 2 \cdot (-3) \] \[ x_3 = 5 - 6 = -1 \]

Ответ: 3-й член прогрессии \(x_3 = -1\).

Задача 2: Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии -3; 5; 13;…

Шаг 1: Определите первый член \(a_1\) и разность \(d\):

• \(a_1 = -3\)
• Найдите разность \(d\): \[ d = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 \]

Шаг 2: Используйте формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где \(a_n\) - n-й член прогрессии.

Шаг 3: Находим 10-й член \(a_{10}\): \[ a_{10} = a_1 + (10 - 1) \cdot d = -3 + 9 \cdot 8 = -3 + 72 = 69 \]

Шаг 4: Теперь подставим в формулу суммы: \[ S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (-3 + 69) = 5 \cdot 66 = 330 \]

Ответ: Сумма первых 10 членов \(S_{10} = 330\).

Задача 3: Найдите сумму 6 первых членов последовательности \(a_n\), заданной формулой \(a_n = 7n - 2\).

Шаг 1: Найдите первые 6 членов последовательности:

• \(a_1 = 7 \cdot 1 - 2 = 5\)
• \(a_2 = 7 \cdot 2 - 2 = 12\)
• \(a_3 = 7 \cdot 3 - 2 = 19\)
• \(a_4 = 7 \cdot 4 - 2 = 26\)
• \(a_5 = 7 \cdot 5 - 2 = 33\)
• \(a_6 = 7 \cdot 6 - 2 = 40\)

Шаг 2: Вычислите сумму этих 6 членов: \[ S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 5 + 12 + 19 + 26 + 33 + 40 \]

Шаг 3: Сложим: \[ S_6 = 5 + 12 = 17; \, 17 + 19 = 36; \, 36 + 26 = 62; \, 62 + 33 = 95; \, 95 + 40 = 135 \]

Ответ: Сумма 6 первых членов \(S_6 = 135\).

Задача 4: Является ли число 70 членом арифметической прогрессии \(a_n\), в которой \(A_1 = 29\) и \(a_8 = 316\)?

Шаг 1: Найдите разность \(d\) прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \] \[ a_8 = a_1 + (8 - 1) \cdot d \] \[ 316 = 29 + 7d \]

Шаг 2: Решите уравнение для \(d\): \[ 316 - 29 = 7d \] \[ 287 = 7d \] \[ d = \frac{287}{7} = 41 \]

Шаг 3: Теперь запишем общий член прогрессии: \[ a_n = 29 + (n - 1) \cdot 41 \]

Шаг 4: Подставьте \(a_n = 70\) и найдите \(n\): \[ 70 = 29 + (n - 1) \cdot 41 \] \[ 70 - 29 = (n - 1) \cdot 41 \] \[ 41 = (n - 1) \cdot 41 \]

Шаг 5: Разделите обе стороны на 41: \[ n - 1 = 1 \] \[ n = 2 \]

Так как \(n\) является целым числом, то 70 действительно является членом последовательности.

Ответ: Да, 70 является членом арифметической прогрессии.

Задача 5: Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 6 и не превосходящих 120.

Шаг 1: Найдите наибольшее число, кратное 6 и не превышающее 120:

• Все числа, кратные 6: 6, 12, 18, ..., 120.
• Наибольший член: \(n = \frac{120}{6} = 20\), то есть \(20 \cdot 6 = 120\).

Шаг 2: Считаем количество членов: \[ n = 20 \]

Шаг 3: Используем формулу суммы: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Шаг 4: Подстановим значения:

• \(a_1 = 6\), \(a_n = 120\)
• \[ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (6 + 120) = 10 \cdot 126 = 1260 \]

Ответ: Сумма всех натуральных чисел, кратных 6 и не превосходящих 120, равна 1260.