Давайте найдем длину вектора ( \mathbf{p} = 7\mathbf{a} - 3\mathbf{b} ), где ( \mathbf{a} {3; -1} ) и ( \mathbf{b} {3; -4} ).
Шаг 1: Найти выражение для вектора ( \mathbf{p} ).
Сначала выразим ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ):
[ \mathbf{a} = {3, -1} ]
[ \mathbf{b} = {3, -4} ]
Найдём вектор ( 7\mathbf{a} ):
[ 7\mathbf{a} = 7 \times {3, -1} = {21, -7} ]
Найдём вектор ( 3\mathbf{b} ):
[ 3\mathbf{b} = 3 \times {3, -4} = {9, -12} ]
Теперь вычтем ( 3\mathbf{b} ) из ( 7\mathbf{a} ):
[ \mathbf{p} = 7\mathbf{a} - 3\mathbf{b} = {21, -7} - {9, -12} ]
Вычислим координаты ( \mathbf{p} ):
[ \mathbf{p} = {21 - 9, -7 + 12} = {12, 5} ]
Шаг 2: Найти длину вектора ( \mathbf{p} ).
Длина вектора (\mathbf{p}) находится по формуле:
[ |\mathbf{p}| = \sqrt{x^2 + y^2} ]
Подставляем координаты ( {12, 5} ):
[ |\mathbf{p}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 ]
Таким образом, длина вектора ( \mathbf{p} ) равна 13.
