. Составьте уравнение образа окружности х²+ y² + 4х-10y-20 = 0 при повороте на 180° по часовой стрелке относительно начала координат

Чтобы определить уравнение окружности после ее поворота на 180° по часовой стрелке относительно начала координат, сначала нужно решить исходное уравнение и получить форму, удобную для анализа.

Шаг 1: Приведение исходного уравнения к стандартному виду.

Исходное уравнение окружности:

\[ x^2 + y^2 + 4x - 10y - 20 = 0. \]

Сначала перенесем свободный член на правую сторону:

\[ x^2 + y^2 + 4x - 10y = 20. \]

Теперь сгруппируем и упростим его с помощью выделения полного квадрата.

Шаг 2: Выделение полного квадрата для x.

Для \( x^2 + 4x \) мы добавим и вычтем \( (4/2)^2 = 4 \):

\[ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4. \]

Шаг 3: Выделение полного квадрата для y.

Для \( y^2 - 10y \) добавим и вычтем \( (10/2)^2 = 25 \):

\[ y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25. \]

Шаг 4: Замена в уравнении.

Теперь подставим выделенные полные квадраты в уравнение:

\[ (x + 2)^2 - 4 + (y - 5)^2 - 25 = 20, \]

что упрощается до:

\[ (x + 2)^2 + (y - 5)^2 - 29 = 20. \]

Прибавим 29 к обеим сторонам:

\[ (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49. \]

Теперь мы имеем стандартное уравнение окружности:

\[ (x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 7^2, \]

где центр окружности \( (-2, 5) \) и радиус \( 7 \).

Шаг 5: Поворот на 180° по часовой стрелке.

Когда мы поворачиваем фигуру на 180° относительно начала координат, все точки (x, y) переходят в (-x, -y). Применим этот поворот к центру окружности:

Центр \( (-2, 5) \) после поворота станет:

\[ (2, -5). \]

Шаг 6: Формирование нового уравнения окружности.

Теперь, исходя из нового центра и неизменного радиуса, уравнение окружности будет:

\[ (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 49. \]

Таким образом, уравнение образа окружности после поворота на 180° по часовой стрелке относительно начала координат выглядит так:

\[ (x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 49. \]

Теперь у вас есть пошаговое объяснение, и вы смогли понять, как проходил процесс. Если есть вопросы или нужно разобраться с чем-то еще, не стесняйтесь спрашивать!