Чтобы определить уравнение окружности после ее поворота на 180° по часовой стрелке относительно начала координат, сначала нужно решить исходное уравнение и получить форму, удобную для анализа.
Шаг 1: Приведение исходного уравнения к стандартному виду.
Исходное уравнение окружности:
[ x^2 + y^2 + 4x - 10y - 20 = 0. ]
Сначала перенесем свободный член на правую сторону:
[ x^2 + y^2 + 4x - 10y = 20. ]
Теперь сгруппируем и упростим его с помощью выделения полного квадрата.
Шаг 2: Выделение полного квадрата для x.
Для ( x^2 + 4x ) мы добавим и вычтем ( (4/2)^2 = 4 ):
[ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4. ]
Шаг 3: Выделение полного квадрата для y.
Для ( y^2 - 10y ) добавим и вычтем ( (10/2)^2 = 25 ):
[ y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25. ]
Шаг 4: Замена в уравнении.
Теперь подставим выделенные полные квадраты в уравнение:
[
(x + 2)^2 - 4 + (y - 5)^2 - 25 = 20,
]
что упрощается до:
[
(x + 2)^2 + (y - 5)^2 - 29 = 20.
]
Прибавим 29 к обеим сторонам:
[
(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49.
]
Теперь мы имеем стандартное уравнение окружности:
[
(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 7^2,
]
где центр окружности ( (-2, 5) ) и радиус ( 7 ).
Шаг 5: Поворот на 180° по часовой стрелке.
Когда мы поворачиваем фигуру на 180° относительно начала координат, все точки (x, y) переходят в (-x, -y). Применим этот поворот к центру окружности:
Центр ( (-2, 5) ) после поворота станет:
[
(2, -5).
]
Шаг 6: Формирование нового уравнения окружности.
Теперь, исходя из нового центра и неизменного радиуса, уравнение окружности будет:
[
(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 49.
]
Таким образом, уравнение образа окружности после поворота на 180° по часовой стрелке относительно начала координат выглядит так:
[
(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 49.
]
Теперь у вас есть пошаговое объяснение, и вы смогли понять, как проходил процесс. Если есть вопросы или нужно разобраться с чем-то еще, не стесняйтесь спрашивать!
