Анализ графика функции y= -x² +4x -1

Для того чтобы понять, как анализировать график функции \( y = -x^2 + 4x - 1 \), мы будем следовать пошагово. Эта функция является параболой, и её график можно построить, а также проанализировать. Давайте рассмотрим, что именно нужно сделать. ### Шаг 1: Определим вид функции Функция \( y = -x^2 + 4x - 1 \) является квадратичной (параболической), так как имеет форму \( ax^2 + bx + c \), где: - \( a = -1 \) - \( b = 4 \) - \( c = -1 \) Так как \( a < 0 \), это означает, что график будет иметь форму «перевернутой» параболы (открывается вниз). ### Шаг 2: Найдем координаты вершины параболы Вершина параболы — это точка максимума (так как парабола открыта вниз). Она находится по формуле: \[ x_{вершины} = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения \( a \) и \( b \): \[ x_{вершины} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{2} = 2 \] Теперь подставим \( x = 2 \) в уравнение функции, чтобы найти \( y_{вершины} \): \[ y_{вершины} = - (2)^2 + 4 \cdot 2 - 1 = -4 + 8 - 1 = 3 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (2, 3) \). ### Шаг 3: Найдем оси симметрии Ось симметрии проходит через вершину и имеет уравнение: \[ x = 2 \] ### Шаг 4: Найдем корни функции Теперь найдем корни (точки пересечения с осью \( x \)). Для этого нужно решить уравнение: \[ -x^2 + 4x - 1 = 0 \] Умножим обе стороны на -1: \[ x^2 - 4x + 1 = 0 \] Для решения используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 \] Корни будут найдены по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} \] Упростим: \[ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \] Таким образом, корни: \[ x_1 = 2 - \sqrt{3}, \quad x_2 = 2 + \sqrt{3} \] ### Шаг 5: Подытожим Мы нашли: - Вершина параболы: \( (2, 3) \) - Ось симметрии: \( x = 2 \) - Корни: \( x_1 = 2 - \sqrt{3}, x_2 = 2 + \sqrt{3} \) ### Шаг 6: Примерный график График функции будет выглядеть так: 1. Парабола открыта вниз. 2. Вершина в точке \( (2, 3) \). 3. Корни находятся примерно в точках, определённых выше. Вы можете построить график, отметив все основные моменты и проведя параболу, учитывая, что она симметрична относительно прямой \( x = 2 \). Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как анализировать график данной функции! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.