анализ графика функции y= -x² +4x -1

Для того чтобы понять, как анализировать график функции \( y = -x^2 + 4x - 1 \), мы будем следовать пошагово. Эта функция является параболой, и её график можно построить, а также проанализировать. Давайте рассмотрим, что именно нужно сделать.

Шаг 1: Определим вид функции

Функция \( y = -x^2 + 4x - 1 \) является квадратичной (параболической), так как имеет форму \( ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = -1 \)
• \( b = 4 \)
• \( c = -1 \)

Так как \( a < 0 \), это означает, что график будет иметь форму «перевернутой» параболы (открывается вниз).

Шаг 2: Найдем координаты вершины параболы

Вершина параболы — это точка максимума (так как парабола открыта вниз). Она находится по формуле: \[ x_{вершины} = -\frac{b}{2a} \] Подставим значения \( a \) и \( b \): \[ x_{вершины} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = \frac{4}{2} = 2 \]

Теперь подставим \( x = 2 \) в уравнение функции, чтобы найти \( y_{вершины} \): \[ y_{вершины} = - (2)^2 + 4 \cdot 2 - 1 = -4 + 8 - 1 = 3 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (2, 3) \).

Шаг 3: Найдем оси симметрии

Ось симметрии проходит через вершину и имеет уравнение: \[ x = 2 \]

Шаг 4: Найдем корни функции

Теперь найдем корни (точки пересечения с осью \( x \)). Для этого нужно решить уравнение: \[ -x^2 + 4x - 1 = 0 \] Умножим обе стороны на -1: \[ x^2 - 4x + 1 = 0 \]

Для решения используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12 \]

Корни будут найдены по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} \] Упростим: \[ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \] Таким образом, корни: \[ x_1 = 2 - \sqrt{3}, \quad x_2 = 2 + \sqrt{3} \]

Шаг 5: Подытожим

Мы нашли:

• Вершина параболы: \( (2, 3) \)
• Ось симметрии: \( x = 2 \)
• Корни: \( x_1 = 2 - \sqrt{3}, x_2 = 2 + \sqrt{3} \)

Шаг 6: Примерный график

График функции будет выглядеть так:

1. Парабола открыта вниз.
2. Вершина в точке \( (2, 3) \).
3. Корни находятся примерно в точках, определённых выше.

Вы можете построить график, отметив все основные моменты и проведя параболу, учитывая, что она симметрична относительно прямой \( x = 2 \).

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как анализировать график данной функции! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.