Проведено 1050 испытаний Бернулли. 0,7составила вероятность успешного испытания. Оцени вероятность того что в проведённом испытании разница между числами успехов составляет меньше 70

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом. У нас есть 1050 испытаний Бернулли, и вероятность успеха в каждом испытании составляет 0,7. Нам нужно оценить вероятность того, что разница между количеством успехов в двух группах испытаний составляет меньше 70. ### Шаг 1: Выяснение условия задачи 1. **Определение параметров**: - Общее количество испытаний (n) = 1050. - Вероятность успеха (p) = 0,7. - Вероятность неуспеха (q) = 1 - p = 0,3. 2. **Количество успехов в испытаниях**: - Количество успехов X в 1050 испытаниях будет случайной величиной, распределенной по биномиальному закону: X ~ Binomial(n, p) = Binomial(1050, 0,7). ### Шаг 2: Оценка математических ожиданий и стандартного отклонения 1. **Математическое ожидание** (E(X)): \[ E(X) = n \cdot p = 1050 \cdot 0,7 = 735 \] 2. **Стандартное отклонение** (σ): \[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{1050 \cdot 0,7 \cdot 0,3} = \sqrt{220.5} \approx 14.85 \] ### Шаг 3: Применение центральной предельной теоремы Так как количество испытаний велико, мы можем воспользоваться центральной предельной теоремой (ЦПТ). По ЦПТ, сумма случайных величин с binomial различием может быть аппроксимирована нормальным распределением: - \(X \sim N(E(X), \sigma^2)\) или \(X \sim N(735, (14.85)^2)\). ### Шаг 4: Нахождение вероятности Нам нужно найти вероятность того, что разница между количеством успехов (X) и их средним значением (735) составляет меньше 70. Это можно выразить как: \[ P(|X - 735| < 70) \] Это эквивалентно тому, что: \[ P(735 - 70 < X < 735 + 70) = P(665 < X < 805) \] ### Шаг 5: Стандартизация Теперь нам нужно стандартизировать переменную X для использования нормального распределения: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] Где: - \( \mu = 735\) - \( \sigma \approx 14.85\) 1. **Стандартизируем границы**: - Для нижней границы: \[ Z_{665} = \frac{665 - 735}{14.85} \approx -4.70 \] - Для верхней границы: \[ Z_{805} = \frac{805 - 735}{14.85} \approx 4.70 \] ### Шаг 6: Нахождение вероятностей Теперь найдем вероятности: \[ P(-4.70 < Z < 4.70) \] Так как значения Z = -4.70 и Z = 4.70 находятся очень далеко от 0, можно утверждать, что: \[ P(-4.70 < Z < 4.70) \approx 1 \] ### Заключение Следовательно, вероятность того, что разница между количеством успехов составляет менее 70, близка к 1. Это означает, что почти наверняка разница между количеством успехов в 1050 испытаниях будет меньше 70.