Проведено 1050 испытаний Бернулли. 0,7составила вероятность успешного испытания. Оцени вероятность того что в проведённом испытании разница между числами успехов составляет меньше…

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом. У нас есть 1050 испытаний Бернулли, и вероятность успеха в каждом испытании составляет 0,7. Нам нужно оценить вероятность того, что разница между количеством успехов в двух группах испытаний составляет меньше 70.

Шаг 1: Выяснение условия задачи

1. Определение параметров:

   • Общее количество испытаний (n) = 1050.
   • Вероятность успеха (p) = 0,7.
   • Вероятность неуспеха (q) = 1 - p = 0,3.

2. Количество успехов в испытаниях:

   • Количество успехов X в 1050 испытаниях будет случайной величиной, распределенной по биномиальному закону: X ~ Binomial(n, p) = Binomial(1050, 0,7).

Шаг 2: Оценка математических ожиданий и стандартного отклонения

1. Математическое ожидание (E(X)): \[ E(X) = n \cdot p = 1050 \cdot 0,7 = 735 \]

2. Стандартное отклонение (σ): \[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{1050 \cdot 0,7 \cdot 0,3} = \sqrt{220.5} \approx 14.85 \]

Шаг 3: Применение центральной предельной теоремы

Так как количество испытаний велико, мы можем воспользоваться центральной предельной теоремой (ЦПТ). По ЦПТ, сумма случайных величин с binomial различием может быть аппроксимирована нормальным распределением:

• \(X \sim N(E(X), \sigma^2)\) или \(X \sim N(735, (14.85)^2)\).

Шаг 4: Нахождение вероятности

Нам нужно найти вероятность того, что разница между количеством успехов (X) и их средним значением (735) составляет меньше 70. Это можно выразить как: \[ P(|X - 735| < 70) \]

Это эквивалентно тому, что: \[ P(735 - 70 < X < 735 + 70) = P(665 < X < 805) \]

Шаг 5: Стандартизация

Теперь нам нужно стандартизировать переменную X для использования нормального распределения: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

Где:

• \( \mu = 735\)
• \( \sigma \approx 14.85\)

1. Стандартизируем границы:
   • Для нижней границы: \[ Z_{665} = \frac{665 - 735}{14.85} \approx -4.70 \]
   • Для верхней границы: \[ Z_{805} = \frac{805 - 735}{14.85} \approx 4.70 \]

Шаг 6: Нахождение вероятностей

Теперь найдем вероятности: \[ P(-4.70 < Z < 4.70) \]

Так как значения Z = -4.70 и Z = 4.70 находятся очень далеко от 0, можно утверждать, что: \[ P(-4.70 < Z < 4.70) \approx 1 \]

Заключение

Следовательно, вероятность того, что разница между количеством успехов составляет менее 70, близка к 1. Это означает, что почти наверняка разница между количеством успехов в 1050 испытаниях будет меньше 70.