Катя движется на автомобиле по дороге, где установлено N-ое количество независимо работающих светофоров. Каждый светофор чередует красный и зелёный сигналы с определённой…

Чтобы найти вероятность того, что Катя остановится 4 раза на улице с 6 светофорами, нам нужно рассмотреть эту задачу как задачу о распределении вероятностей для независимых событий.

Пошаговое объяснение

1. Определение события:

   • Пусть вероятность того, что Катя остановится у одного светофора, равна \( p \). Тогда вероятность того, что она не остановится у одного светофора, равна \( q = 1 - p \).

2. Параметры задачи:

   • \( N = 6 \) — количество светофоров.
   • \( X \) — случайная величина, представляющая количество остановок Кати.
   • Мы ищем вероятность того, что \( P(X = 4) \).

3. Модель:

   • Количество остановок Кати можно описать с помощью биномиального распределения, так как каждое событие (остановка или проезд светофора) является независимым.
   • Формула для биномиального распределения выглядит так: \[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} \] где:
     • \( C(n, k) \) — число сочетаний (комбинаторное число, количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \)),
     • \( n \) — общее число испытаний (в нашем случае, количество светофоров, \( n = 6 \)),
     • \( k \) — число успехов (остановок, здесь \( k = 4 \)),
     • \( p \) — вероятность успеха (остановки на светофоре).

4. Вычисления:

   • Сначала вычислим число сочетаний: \[ C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]

5. Проверка вероятностей:

   • Для завершения у нас должна быть известна вероятность \( p \) того, что Катя остановится у одного светофора. Если, например, \( p = 0.5 \) (что является распространённым предположением в подобных задачах, если не указано иное):
     • Тогда \( q = 1 - p = 0.5 \).

6. Подставляем значения в формулу: \[ P(X = 4) = C(6, 4) p^4 (1-p)^{6-4} = 15 \times (0.5)^4 \times (0.5)^2 = 15 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{4} = 15 \times \frac{1}{64} = \frac{15}{64} \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что Катя остановится 4 раза на улице с 6 светофорами, при условии, что вероятность остановки у одного светофора равна 0.5, составляет \( \frac{15}{64} \).

Если вам известна другая вероятность \( p \) остановки, вы можете подставить её в формулу и повторить вычисления.