Катя движется на автомобиле по дороге, где установлено N-ое количество независимо работающих светофоров. Каждый светофор чередует красный и зелёный сигналы с определённой переодичностью. Пусть количество остановок на этой улице будет случайной величиной X, а N=6. Используя эту информацию, найди вероятность того, что Катя остановится 4 раза

Чтобы найти вероятность того, что Катя остановится 4 раза на улице с 6 светофорами, нам нужно рассмотреть эту задачу как задачу о распределении вероятностей для независимых событий. ### Пошаговое объяснение 1. **Определение события:** - Пусть вероятность того, что Катя остановится у одного светофора, равна \( p \). Тогда вероятность того, что она не остановится у одного светофора, равна \( q = 1 - p \). 2. **Параметры задачи:** - \( N = 6 \) — количество светофоров. - \( X \) — случайная величина, представляющая количество остановок Кати. - Мы ищем вероятность того, что \( P(X = 4) \). 3. **Модель:** - Количество остановок Кати можно описать с помощью биномиального распределения, так как каждое событие (остановка или проезд светофора) является независимым. - Формула для биномиального распределения выглядит так: \[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} \] где: - \( C(n, k) \) — число сочетаний (комбинаторное число, количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \)), - \( n \) — общее число испытаний (в нашем случае, количество светофоров, \( n = 6 \)), - \( k \) — число успехов (остановок, здесь \( k = 4 \)), - \( p \) — вероятность успеха (остановки на светофоре). 4. **Вычисления:** - Сначала вычислим число сочетаний: \[ C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \] 5. **Проверка вероятностей:** - Для завершения у нас должна быть известна вероятность \( p \) того, что Катя остановится у одного светофора. Если, например, \( p = 0.5 \) (что является распространённым предположением в подобных задачах, если не указано иное): - Тогда \( q = 1 - p = 0.5 \). 6. **Подставляем значения в формулу:** \[ P(X = 4) = C(6, 4) p^4 (1-p)^{6-4} = 15 \times (0.5)^4 \times (0.5)^2 = 15 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{4} = 15 \times \frac{1}{64} = \frac{15}{64} \] ### Ответ Таким образом, вероятность того, что Катя остановится 4 раза на улице с 6 светофорами, при условии, что вероятность остановки у одного светофора равна 0.5, составляет \( \frac{15}{64} \). Если вам известна другая вероятность \( p \) остановки, вы можете подставить её в формулу и повторить вычисления.