x3+y3 =7 xy(x+y)= -2 Реши систему уравнений

Чтобы решить систему уравнений:

1. \( x^3 + y^3 = 7 \)
2. \( xy(x + y) = -2 \)

Давайте начнем с первого уравнения. Вспомним, что существует формула для суммы кубов:

\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]

Также мы знаем, что из второго уравнения можно выразить \( x + y \) и \( xy \) через новые переменные. Обозначим:

• \( S = x + y \) (сумма)
• \( P = xy \) (произведение)

Теперь преобразуем первое уравнение:

\[ x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 - 3xy) = S(S^2 - 3P) = 7 \]

Теперь запишем второе уравнение:

\[ P \cdot S = -2 \]

Теперь у нас есть две новые переменные \( S \) и \( P \):

1. \( S(S^2 - 3P) = 7 \)
2. \( PS = -2 \)

Чтобы решить эту систему, подставим из второго уравнения \( P \) в первое. Из второго уравнения находим \( P \):

\[ P = \frac{-2}{S} \]

Теперь подставим \( P \) в первое уравнение:

\[ S \left( S^2 - 3\left(\frac{-2}{S}\right) \right) = 7 \]

Упрощаем это уравнение:

\[ S \left( S^2 + \frac{6}{S} \right) = 7 \] \[ S^3 + 6 = 7 \] \[ S^3 = 1 \] \[ S = 1 \]

Теперь, когда мы знаем, что \( S = 1 \), подставим это значение, чтобы найти \( P \):

\[ P = \frac{-2}{1} = -2 \]

Теперь мы имеем два значения: \( S = 1 \) и \( P = -2 \). Эти значения означают, что \( x \) и \( y \) являются корнями квадратного уравнения:

\[ t^2 - St + P = 0 \] \[ t^2 - 1t - 2 = 0 \]

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ t = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Таким образом, мы получаем два корня:

1. \( t = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( t = \frac{-2}{2} = -1 \)

Итак, \( x \) и \( y \) могут принимать значения \( 2 \) и \( -1 \).

Итак, у нас есть два решения для системы уравнений:

\( (x, y) = (2, -1) \) или \( (x, y) = (-1, 2) \).

Таким образом, система уравнений имеет два решения: \( (2, -1) \) и \( (-1, 2) \).