На рисунке изображён прямоугольник ABCD . Точки K, L, M, N— середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать…

Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать четырёхугольнику AMCD, будем следовать по шагам:

Шаг 1: Понимание задачи

1. Изображение прямоугольника ABCD: представьте, что у нас есть прямоугольник ABCD с вершинами A, B, C и D.

2. Точки K, L, M, N: это середины сторон. Например, если AB — верхняя сторона, то K будет находиться посредине от A до B. Аналогично, L, M и N будут находиться в серединах сторон.

3. Четырёхугольник AMCD: Это фигура, образованная точками A, M, C и D.

Шаг 2: Вычисление площадей

Теперь нам нужно вычислить площади прямоугольника и четырёхугольника AMCD.

Площадь прямоугольника ABCD

Обозначим длину прямоугольника AB как a, а ширину AD как b. Тогда площадь прямоугольника ABCD равна: \[ S_{ABCD} = a \cdot b \]

Площадь четырёхугольника AMCD

Для нахождения площади AMCD, нужно знать координаты точек. Так как K, L, M и N – середины сторон:

• К примеру, если A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b), то:
  • K(0.5a, 0) (середина AB)
  • L(a, 0.5b) (середина BC)
  • M(0.5a, b) (середина CD)
  • N(0, 0.5b) (середина AD)

Таким образом, координаты точек A, M, C и D будут:

• A(0, 0)
• M(0.5a, b)
• C(a, b)
• D(0, b)

Площадь четырёхугольника AMCD можно найти, используя формулу: \[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| \] где \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)\) — координаты вершин AMCD.

Подставляем координаты: \[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b + 0.5a \cdot b + a \cdot b + 0 \cdot 0 - (0 \cdot 0.5a + b \cdot a + b \cdot 0 + 0 \cdot 0) \right| \] Упрощаем это выражение: \[ S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| 0 + 0.5ab + ab + 0 - (0 + ab + 0 + 0) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| 1.5ab - ab \right| = \frac{1}{2} \left| 0.5ab \right| = 0.25ab \]

Шаг 3: Вычисление вероятности

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет находиться внутри четырехугольника AMCD: \[ P = \frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}} = \frac{0.25ab}{ab} = 0.25 \]

Ответ

Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать четырёхугольнику AMCD, равна 0.25 или 25%.