На рисунке изображён прямоугольник
ABCD. Точки K, L, M, N— середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать четырёхугольнику
AMCD.
Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать четырёхугольнику AMCD, будем следовать по шагам:
### Шаг 1: Понимание задачи
1. **Изображение прямоугольника** ABCD: представьте, что у нас есть прямоугольник ABCD с вершинами A, B, C и D.
2. **Точки K, L, M, N**: это середины сторон. Например, если AB — верхняя сторона, то K будет находиться посредине от A до B. Аналогично, L, M и N будут находиться в серединах сторон.
3. **Четырёхугольник AMCD**: Это фигура, образованная точками A, M, C и D.
### Шаг 2: Вычисление площадей
Теперь нам нужно вычислить площади прямоугольника и четырёхугольника AMCD.
#### Площадь прямоугольника ABCD
Обозначим длину прямоугольника AB как **a**, а ширину AD как **b**. Тогда площадь прямоугольника ABCD равна:
\[
S_{ABCD} = a \cdot b
\]
#### Площадь четырёхугольника AMCD
Для нахождения площади AMCD, нужно знать координаты точек. Так как K, L, M и N – середины сторон:
- К примеру, если A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b), то:
- K(0.5a, 0) (середина AB)
- L(a, 0.5b) (середина BC)
- M(0.5a, b) (середина CD)
- N(0, 0.5b) (середина AD)
Таким образом, координаты точек A, M, C и D будут:
- A(0, 0)
- M(0.5a, b)
- C(a, b)
- D(0, b)
Площадь четырёхугольника AMCD можно найти, используя формулу:
\[
S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right|
\]
где \((x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)\) — координаты вершин AMCD.
Подставляем координаты:
\[
S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| 0 \cdot b + 0.5a \cdot b + a \cdot b + 0 \cdot 0 - (0 \cdot 0.5a + b \cdot a + b \cdot 0 + 0 \cdot 0) \right|
\]
Упрощаем это выражение:
\[
S_{AMCD} = \frac{1}{2} \left| 0 + 0.5ab + ab + 0 - (0 + ab + 0 + 0) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 1.5ab - ab \right| = \frac{1}{2} \left| 0.5ab \right| = 0.25ab
\]
### Шаг 3: Вычисление вероятности
Теперь мы можем вычислить вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет находиться внутри четырехугольника AMCD:
\[
P = \frac{S_{AMCD}}{S_{ABCD}} = \frac{0.25ab}{ab} = 0.25
\]
### Ответ
Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике ABCD будет принадлежать четырёхугольнику AMCD, равна **0.25** или **25%**.
