Чтобы решить задачу, необходимо использовать формулу для вероятности успеха в испытаниях Бернулли. В данном случае мы хотим найти вероятности того, что в серии из 6 испытаний произойдет ровно 3 успеха и ровно 4 успеха.
Формула для вычисления вероятности ( P(X = k) ) при ( n ) испытаниях и вероятности успеха ( p ) выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — количество сочетаний (или биномиальный коэффициент), которое вычисляется по формуле ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ),
- ( n ) — общее количество испытаний,
- ( k ) — количество успехов,
- ( p ) — вероятность успеха,
- ( 1 - p ) — вероятность неудачи.
В наших условиях:
Теперь нам нужно найти вероятности для ( k = 3 ) и ( k = 4 ).
1. Вероятность ровно 3 успеха (( k = 3 )):
[
P(X = 3) = C(6, 3) \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^{6 - 3}
]
Сначала находим биномиальный коэффициент:
[
C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
]
Теперь подставим значения:
[
P(X = 3) = 20 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^3
]
Вычислим ( (0.6)^3 ) и ( (0.4)^3 ):
[
(0.6)^3 = 0.216, \quad (0.4)^3 = 0.064
]
Теперь закончим вычисление:
[
P(X = 3) = 20 \cdot 0.216 \cdot 0.064 = 20 \cdot 0.013824 = 0.27648
]
2. Вероятность ровно 4 успеха (( k = 4 )):
[
P(X = 4) = C(6, 4) \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^{6 - 4}
]
Снова находим биномиальный коэффициент:
[
C(6, 4) = C(6, 2) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15
]
Теперь подставим значения:
[
P(X = 4) = 15 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^2
]
Вычислим ( (0.6)^4 ) и ( (0.4)^2 ):
[
(0.6)^4 = 0.1296, \quad (0.4)^2 = 0.16
]
Теперь закончим вычисление:
[
P(X = 4) = 15 \cdot 0.1296 \cdot 0.16 = 15 \cdot 0.020736 = 0.31104
]
Сравнение вероятностей:
Теперь мы можем сравнить значения:
- ( P(X = 3) \approx 0.27648 )
- ( P(X = 4) \approx 0.31104 )
Таким образом, более вероятным событием является ровно 4 успеха.
