Проводится серия из 6 испытаний Бернулли с вероятностью успеха р=0,6. Что более вероятностей в этой серии : ровно 3 успеха или ровно 4 успеха

Чтобы решить задачу, необходимо использовать формулу для вероятности успеха в испытаниях Бернулли. В данном случае мы хотим найти вероятности того, что в серии из 6 испытаний произойдет ровно 3 успеха и ровно 4 успеха.

Формула для вычисления вероятности \( P(X = k) \) при \( n \) испытаниях и вероятности успеха \( p \) выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — количество сочетаний (или биномиальный коэффициент), которое вычисляется по формуле \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( k \) — количество успехов,
• \( p \) — вероятность успеха,
• \( 1 - p \) — вероятность неудачи.

В наших условиях:

• \( n = 6 \),
• \( p = 0.6 \).

Теперь нам нужно найти вероятности для \( k = 3 \) и \( k = 4 \).

1. Вероятность ровно 3 успеха (\( k = 3 \)):

\[ P(X = 3) = C(6, 3) \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^{6 - 3} \]

Сначала находим биномиальный коэффициент:

\[ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \]

Теперь подставим значения:

\[ P(X = 3) = 20 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^3 \]

Вычислим \( (0.6)^3 \) и \( (0.4)^3 \):

\[ (0.6)^3 = 0.216, \quad (0.4)^3 = 0.064 \]

Теперь закончим вычисление:

\[ P(X = 3) = 20 \cdot 0.216 \cdot 0.064 = 20 \cdot 0.013824 = 0.27648 \]

2. Вероятность ровно 4 успеха (\( k = 4 \)):

\[ P(X = 4) = C(6, 4) \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^{6 - 4} \]

Снова находим биномиальный коэффициент:

\[ C(6, 4) = C(6, 2) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]

Теперь подставим значения:

\[ P(X = 4) = 15 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^2 \]

Вычислим \( (0.6)^4 \) и \( (0.4)^2 \):

\[ (0.6)^4 = 0.1296, \quad (0.4)^2 = 0.16 \]

Теперь закончим вычисление:

\[ P(X = 4) = 15 \cdot 0.1296 \cdot 0.16 = 15 \cdot 0.020736 = 0.31104 \]

Сравнение вероятностей:

Теперь мы можем сравнить значения:

• \( P(X = 3) \approx 0.27648 \)
• \( P(X = 4) \approx 0.31104 \)

Таким образом, более вероятным событием является ровно 4 успеха.