cos (π/4-x)<√2/2

Чтобы решить неравенство \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) < \frac{\sqrt{2}}{2} \), следуем пошаговым объяснениям.

Шаг 1: Понимание выражения

Напомним, что \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) — это значение косинуса для углов \( \frac{\pi}{4} \) и \( \frac{7\pi}{4} \). Мы ищем, когда \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \) меньше этого значения.

Шаг 2: Анализ неравенства

Итак, у нас есть:

\[ \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) < \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 3: Поиск углов

Зная, что косинус меньше \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) в определенных интервалах, определим эти интервалы. \( \cos \theta < \frac{\sqrt{2}}{2} \) в пределах:

\[ \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{4} \quad \text{и} \quad \frac{5\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4} \]

Шаг 4: Подстановка нашего значения

Заменим \( \theta \) на \( \frac{\pi}{4} - x \) в неравенстве:

1. Для первого интервала:

\[ \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} - x < \frac{3\pi}{4} \]

Это можно разбить на два отдельные неравенства:

• \( \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} - x \)

  • Переносим \( -x \) в другую сторону: \[ x < 0 \]

• \( \frac{\pi}{4} - x < \frac{3\pi}{4} \)

  • Переносим \( -x \): \[ -x < \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \] \[ -x < \frac{\pi}{2} \] \[ x > -\frac{\pi}{2} \]

Таким образом, для первого интервала мы имеем:

\[ -\frac{\pi}{2} < x < 0 \]

2. Для второго интервала:

\[ \frac{5\pi}{4} < \frac{\pi}{4} - x < \frac{7\pi}{4} \]

Решим также два неравенства:

• \( \frac{5\pi}{4} < \frac{\pi}{4} - x \)

  • Переносим: \[ x < \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} = -\pi \]

• \( \frac{\pi}{4} - x < \frac{7\pi}{4} \)

  • Переносим \( -x \) и подставляем: \[ -x < \frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \] \[ x > -\frac{3\pi}{2} \]

Для второго интервала мы имеем:

\[ -\frac{3\pi}{2} < x < -\pi \]

Шаг 5: Сведение результатов

Теперь объединим решения из двух интервалов:

1. Первая часть: \( -\frac{\pi}{2} < x < 0 \)
2. Вторая часть: \( -\frac{3\pi}{2} < x < -\pi \)

Таким образом, окончательное решение:

\[ -\frac{3\pi}{2} < x < -\pi \quad \text{или} \quad -\frac{\pi}{2} < x < 0 \]

Итак, неравенство \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) < \frac{\sqrt{2}}{2} \) выполняется для значений \( x \) в указанных интервалах.