Cos (π/4-x)<√2/2

Чтобы решить неравенство \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) < \frac{\sqrt{2}}{2} \), следуем пошаговым объяснениям. ### Шаг 1: Понимание выражения Напомним, что \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) — это значение косинуса для углов \( \frac{\pi}{4} \) и \( \frac{7\pi}{4} \). Мы ищем, когда \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \) меньше этого значения. ### Шаг 2: Анализ неравенства Итак, у нас есть: \[ \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) < \frac{\sqrt{2}}{2} \] ### Шаг 3: Поиск углов Зная, что косинус меньше \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) в определенных интервалах, определим эти интервалы. \( \cos \theta < \frac{\sqrt{2}}{2} \) в пределах: \[ \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{3\pi}{4} \quad \text{и} \quad \frac{5\pi}{4} < \theta < \frac{7\pi}{4} \] ### Шаг 4: Подстановка нашего значения Заменим \( \theta \) на \( \frac{\pi}{4} - x \) в неравенстве: 1. Для первого интервала: \[ \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} - x < \frac{3\pi}{4} \] Это можно разбить на два отдельные неравенства: - \( \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} - x \) - Переносим \( -x \) в другую сторону: \[ x < 0 \] - \( \frac{\pi}{4} - x < \frac{3\pi}{4} \) - Переносим \( -x \): \[ -x < \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \] \[ -x < \frac{\pi}{2} \] \[ x > -\frac{\pi}{2} \] Таким образом, для первого интервала мы имеем: \[ -\frac{\pi}{2} < x < 0 \] 2. Для второго интервала: \[ \frac{5\pi}{4} < \frac{\pi}{4} - x < \frac{7\pi}{4} \] Решим также два неравенства: - \( \frac{5\pi}{4} < \frac{\pi}{4} - x \) - Переносим: \[ x < \frac{\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} = -\pi \] - \( \frac{\pi}{4} - x < \frac{7\pi}{4} \) - Переносим \( -x \) и подставляем: \[ -x < \frac{7\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \] \[ x > -\frac{3\pi}{2} \] Для второго интервала мы имеем: \[ -\frac{3\pi}{2} < x < -\pi \] ### Шаг 5: Сведение результатов Теперь объединим решения из двух интервалов: 1. Первая часть: \( -\frac{\pi}{2} < x < 0 \) 2. Вторая часть: \( -\frac{3\pi}{2} < x < -\pi \) Таким образом, окончательное решение: \[ -\frac{3\pi}{2} < x < -\pi \quad \text{или} \quad -\frac{\pi}{2} < x < 0 \] Итак, неравенство \( \cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right) < \frac{\sqrt{2}}{2} \) выполняется для значений \( x \) в указанных интервалах.