-12/(x^2-7x-8)меньше или равно 0
Чтобы решить неравенство:
\[ -\frac{12}{x^2 - 7x - 8} \leq 0 \]
давайте разберём его по шагам.
Шаг 1: Найдём, когда дробь равна нулю и когда она определена
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: \[ -12 = 0 \quad \text{(это никогда не происходит)} \]
Таким образом, дробь никогда не равна нулю, но она может быть определена только тогда, когда знаменатель не равен нулю. Найдём нули знаменателя: \[ x^2 - 7x - 8 = 0 \]
Шаг 2: Решим квадратное уравнение
Для решения этого уравнения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -7 \), \( c = -8 \):
- Найдём дискриминант: \[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 \]
- Теперь найдём корни: \[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{7 + 9}{2} = 8 \] \[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{7 - 9}{2} = -1 \]
Шаг 3: Определим интервалы
Теперь у нас есть точки, в которых знаменатель равен нулю: \( x = -1 \) и \( x = 8 \). Эти точки делят числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 8) \)
- \( (8, +\infty) \)
Шаг 4: Определим знак функции на каждом из интервалов
Теперь проверим знак выражения \(-\frac{12}{x^2 - 7x - 8}\) на каждом из интервалов.
Интервал \( (-\infty, -1) \): Выберем, например, \( x = -2 \): \[ x^2 - 7x - 8 = 4 + 14 - 8 = 10 \quad (положительно) \Rightarrow -\frac{12}{10} < 0 \]
Интервал \( (-1, 8) \): Выберем, например, \( x = 0 \): \[ x^2 - 7x - 8 = 0 + 0 - 8 = -8 \quad (отрицательно) \Rightarrow -\frac{12}{-8} > 0 \]
Интервал \( (8, +\infty) \): Выберем, например, \( x = 9 \): \[ x^2 - 7x - 8 = 81 - 63 - 8 = 10 \quad (положительно) \Rightarrow -\frac{12}{10} < 0 \]
Шаг 5: Составим ответ
Нас интересуют интервал и точки, где \(-\frac{12}{x^2 - 7x - 8} \leq 0\). Мы видим, что:
- Функция отрицательна на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (8, +\infty) \)
- В точках \( x = -1 \) и \( x = 8 \) знаменатель равен нулю, поэтому эти точки не включаем.
Итак, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, -1) \cup (8, +\infty) \]
Этот ответ означает, что для указанных значений x неравенство выполняется.
