Найти наибольшее, наименьшее, асиптома у= 5х3-3х5 (-3;2)

Для решения задачи будем рассматривать функцию, заданную выражением \( y = 5x^3 - 3x^5 \). Нам необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции на интервале \((-3; 2)\), а также асимптоты. ### Шаг 1: Найти производную функции Для начала, найдём производную функции \( y \) по \( x \): \[ y' = \frac{dy}{dx} = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2) \] ### Шаг 2: Найти критические точки Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 15x^2(1 - x^2) = 0 \] Это уравнение равно нулю, если \( 15x^2 = 0 \) или \( 1 - x^2 = 0 \): 1. \( 15x^2 = 0 \) дает \( x = 0 \) 2. \( 1 - x^2 = 0 \) дает \( x = 1 \) или \( x = -1 \) Таким образом, критическими точками являются \( x = 0, -1, 1 \). ### Шаг 3: Проверить критические точки и границы интервала Теперь мы проверим значения функции на критических точках и границах заданного интервала \((-3; 2)\): 1. **Функция на границах интервала:** - \( x = -3 \): \[ y(-3) = 5(-3)^3 - 3(-3)^5 = 5(-27) - 3(-243) = -135 + 729 = 594 \] - \( x = 2 \): \[ y(2) = 5(2)^3 - 3(2)^5 = 5(8) - 3(32) = 40 - 96 = -56 \] 2. **Функция в критических точках:** - \( x = 0 \): \[ y(0) = 5(0)^3 - 3(0)^5 = 0 \] - \( x = -1 \): \[ y(-1) = 5(-1)^3 - 3(-1)^5 = 5(-1) - 3(-1) = -5 + 3 = -2 \] - \( x = 1 \): \[ y(1) = 5(1)^3 - 3(1)^5 = 5(1) - 3(1) = 5 - 3 = 2 \] ### Шаг 4: Сравнить значения Теперь сравним полученные значения: - \( y(-3) = 594 \) - \( y(2) = -56 \) - \( y(0) = 0 \) - \( y(-1) = -2 \) - \( y(1) = 2 \) Наибольшее значение на интервале: **594** (в точке \( x = -3 \)) Наименьшее значение на интервале: **-56** (в точке \( x = 2 \)) ### Шаг 5: Найти асимптоты Функция \( y = 5x^3 - 3x^5 \) является многочленом, и у неё нет вертикальных асимптот, так как многочлены определены для всех значений \( x \). Кроме того, при подходе \( x \) к бесконечности или минус бесконечности, функция будет вести себя как \( -3x^5 \), то есть стремиться к \( -\infty \). Поэтому горизонтальной асимптоты также нет. ### Ответ: - **Наибольшее значение:** 594 при \( x = -3 \) - **Наименьшее значение:** -56 при \( x = 2 \) - **Ассимптоты:** нет вертикальных и горизонтальных асимптот.