найти наибольшее, наименьшее, асиптома у= 5х3-3х5 (-3;2)

Для решения задачи будем рассматривать функцию, заданную выражением \( y = 5x^3 - 3x^5 \). Нам необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции на интервале \((-3; 2)\), а также асимптоты.

Шаг 1: Найти производную функции

Для начала, найдём производную функции \( y \) по \( x \):

\[ y' = \frac{dy}{dx} = 15x^2 - 15x^4 = 15x^2(1 - x^2) \]

Шаг 2: Найти критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

\[ 15x^2(1 - x^2) = 0 \]

Это уравнение равно нулю, если \( 15x^2 = 0 \) или \( 1 - x^2 = 0 \):

1. \( 15x^2 = 0 \) дает \( x = 0 \)
2. \( 1 - x^2 = 0 \) дает \( x = 1 \) или \( x = -1 \)

Таким образом, критическими точками являются \( x = 0, -1, 1 \).

Шаг 3: Проверить критические точки и границы интервала

Теперь мы проверим значения функции на критических точках и границах заданного интервала \((-3; 2)\):

1. Функция на границах интервала:

   • \( x = -3 \): \[ y(-3) = 5(-3)^3 - 3(-3)^5 = 5(-27) - 3(-243) = -135 + 729 = 594 \]

   • \( x = 2 \): \[ y(2) = 5(2)^3 - 3(2)^5 = 5(8) - 3(32) = 40 - 96 = -56 \]

2. Функция в критических точках:

   • \( x = 0 \): \[ y(0) = 5(0)^3 - 3(0)^5 = 0 \]
   • \( x = -1 \): \[ y(-1) = 5(-1)^3 - 3(-1)^5 = 5(-1) - 3(-1) = -5 + 3 = -2 \]
   • \( x = 1 \): \[ y(1) = 5(1)^3 - 3(1)^5 = 5(1) - 3(1) = 5 - 3 = 2 \]

Шаг 4: Сравнить значения

Теперь сравним полученные значения:

• \( y(-3) = 594 \)
• \( y(2) = -56 \)
• \( y(0) = 0 \)
• \( y(-1) = -2 \)
• \( y(1) = 2 \)

Наибольшее значение на интервале: 594 (в точке \( x = -3 \))
Наименьшее значение на интервале: -56 (в точке \( x = 2 \))

Шаг 5: Найти асимптоты

Функция \( y = 5x^3 - 3x^5 \) является многочленом, и у неё нет вертикальных асимптот, так как многочлены определены для всех значений \( x \). Кроме того, при подходе \( x \) к бесконечности или минус бесконечности, функция будет вести себя как \( -3x^5 \), то есть стремиться к \( -\infty \). Поэтому горизонтальной асимптоты также нет.

Ответ:

• Наибольшее значение: 594 при \( x = -3 \)
• Наименьшее значение: -56 при \( x = 2 \)
• Ассимптоты: нет вертикальных и горизонтальных асимптот.