Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополис. та от цены р (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой q = 75 - 5р. Выручка предприятия (в тыс. руб. за…
Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополис. та от цены р (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой q = 75 - 5р. Выручка предприятия (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле г (р) = q р. Определите наибольшую цеву р, при которой месячная выручка r (р) составит не менее 270 тыс. руб. Отае приведите в тыс. руб. за ед.
Давайте решим задачу, пошагово объясняя каждый шаг.
Дано:
- Зависимость объема спроса \( q \) от цены \( p \): \[ q = 75 - 5p \]
- Формула выручки \( r(p) \): \[ r(p) = q \cdot p \]
Шаг 1: Подставим выражение для \( q \) в формулу выручки.
Подставим \( q \) из первого уравнения во второе:
\[ r(p) = (75 - 5p) \cdot p \]
Теперь раскроем скобки:
\[ r(p) = 75p - 5p^2 \]
Шаг 2: Подставим условие на выручку.
Мы хотим найти наибольшую цену \( p \), при которой выручка \( r(p) \) составляет не менее 270 тыс. руб. То есть:
\[ r(p) \geq 270 \]
Подставляем выражение для \( r(p) \):
\[ 75p - 5p^2 \geq 270 \]
Шаг 3: Приведем неравенство к стандартному виду.
Переносим 270 на левую сторону:
\[ 75p - 5p^2 - 270 \geq 0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ -5p^2 + 75p - 270 \geq 0 \]
Умножим на (-1) (не меняем знак неравенства):
\[ 5p^2 - 75p + 270 \leq 0 \]
Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения.
Для этого используем дискриминант, который рассчитывается по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \( a = 5, b = -75, c = 270 \).
Вычислим дискриминант:
\[ D = (-75)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 270 \] \[ D = 5625 - 5400 = 225 \]
Шаг 5: Найдем корни уравнения.
Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
\[ p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ p_1 = \frac{75 + \sqrt{225}}{2 \cdot 5} = \frac{75 + 15}{10} = \frac{90}{10} = 9 \] \[ p_2 = \frac{75 - \sqrt{225}}{2 \cdot 5} = \frac{75 - 15}{10} = \frac{60}{10} = 6 \]
Шаг 6: Определим диапазон значений \( p \).
Нам нужно решить неравенство:
\[ 5p^2 - 75p + 270 \leq 0 \]
Корни \( p_1 = 9 \) и \( p_2 = 6 \) делят числовую прямую на интервалы: \( (-\infty, 6) \), \( [6, 9] \), и \( (9, +\infty) \).
Поскольку коэффициент перед \( p^2 \) положителен, функция имеет следующий вид:
- Положительна за пределами корней и отрицательна между ними.
Таким образом, решение неравенства:
\[ 6 \leq p \leq 9 \]
Шаг 7: Найдем наибольшую цену \( p \).
Наибольшая цена \( p \), при которой месячная выручка составит не менее 270 тыс. руб., равна 9 тыс. руб. за единицу товара.
Ответ:
Наибольшая цена \( p = 9 \) тыс. руб. за единицу.
