Давайте решим задачу, пошагово объясняя каждый шаг.
Дано:
- Зависимость объема спроса ( q ) от цены ( p ):
[
q = 75 - 5p
]
- Формула выручки ( r(p) ):
[
r(p) = q \cdot p
]
Шаг 1: Подставим выражение для ( q ) в формулу выручки.
Подставим ( q ) из первого уравнения во второе:
[
r(p) = (75 - 5p) \cdot p
]
Теперь раскроем скобки:
[
r(p) = 75p - 5p^2
]
Шаг 2: Подставим условие на выручку.
Мы хотим найти наибольшую цену ( p ), при которой выручка ( r(p) ) составляет не менее 270 тыс. руб. То есть:
[
r(p) \geq 270
]
Подставляем выражение для ( r(p) ):
[
75p - 5p^2 \geq 270
]
Шаг 3: Приведем неравенство к стандартному виду.
Переносим 270 на левую сторону:
[
75p - 5p^2 - 270 \geq 0
]
Упрощаем уравнение:
[
-5p^2 + 75p - 270 \geq 0
]
Умножим на (-1) (не меняем знак неравенства):
[
5p^2 - 75p + 270 \leq 0
]
Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения.
Для этого используем дискриминант, который рассчитывается по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 5, b = -75, c = 270 ).
Вычислим дискриминант:
[
D = (-75)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 270
]
[
D = 5625 - 5400 = 225
]
Шаг 5: Найдем корни уравнения.
Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
[
p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
p_1 = \frac{75 + \sqrt{225}}{2 \cdot 5} = \frac{75 + 15}{10} = \frac{90}{10} = 9
]
[
p_2 = \frac{75 - \sqrt{225}}{2 \cdot 5} = \frac{75 - 15}{10} = \frac{60}{10} = 6
]
Шаг 6: Определим диапазон значений ( p ).
Нам нужно решить неравенство:
[
5p^2 - 75p + 270 \leq 0
]
Корни ( p_1 = 9 ) и ( p_2 = 6 ) делят числовую прямую на интервалы: ( (-\infty, 6) ), ( [6, 9] ), и ( (9, +\infty) ).
Поскольку коэффициент перед ( p^2 ) положителен, функция имеет следующий вид:
- Положительна за пределами корней и отрицательна между ними.
Таким образом, решение неравенства:
[
6 \leq p \leq 9
]
Шаг 7: Найдем наибольшую цену ( p ).
Наибольшая цена ( p ), при которой месячная выручка составит не менее 270 тыс. руб., равна 9 тыс. руб. за единицу товара.
Ответ:
Наибольшая цена ( p = 9 ) тыс. руб. за единицу.
