3. Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 8 √2 см. Найдите периметр правильного шестиугольника, вписанного в эту же окружность.
Чтобы решить задачу, давайте сначала поймем, что нам дано:
- Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен \(8\sqrt{2} \, \text{см}\).
- Нам нужно найти периметр правильного шестиугольника, который тоже вписан в ту же окружность.
Шаг 1: Найдем сторону квадрата
Периметр квадрата рассчитывается по формуле: \[ P = 4a \] где \(a\) — длина стороны квадрата.
Посмотрим на наш периметр: \[ 8\sqrt{2} = 4a \]
Чтобы найти \(a\), поделим обе стороны уравнения на 4: \[ a = \frac{8\sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{2} \, \text{см} \]
Шаг 2: Найдем радиус окружности
Теперь найдем радиус окружности, в которую вписан наш квадрат. Из геометрии мы знаем, что радиус окружности \(R\), вписанной в квадрат, можно найти по формуле: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] где \(a\) — сторона квадрата.
Подставим найденное значение: \[ R = \frac{2\sqrt{2}\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2 \, \text{см} \]
Шаг 3: Найдем периметр шестиугольника
Теперь, когда мы знаем радиус окружности, найдем сторону правильного шестиугольника. Длина стороны правильного шестиугольника \(b\), вписанного в окружность радиуса \(R\), равна: \[ b = R \]
Поэтому: \[ b = 2 \, \text{см} \]
Теперь можем найти периметр шестиугольника. Периметр правильного шестиугольника рассчитывается по формуле: \[ P = 6b \]
Подставим значение стороны \(b\): \[ P = 6 \cdot 2 = 12 \, \text{см} \]
Ответ
Периметр правильного шестиугольника, вписанного в ту же окружность, равен \(12 \, \text{см}\).
