Из бутыли, наполненной 12 % -ным раствором соли, отлили 1 л и долили в бутыль воду, затем отлили ещё литр и опять долили водой. В итоге в бутыли оказался 3% -й раствор соли Какова вместимость бутыли? (Считать плотность раствора равной плотности воды.)

Для решения данной задачи давайте обозначим параметры и поэтапно разберём процесс. 1. **Обозначим неизвестную величину**: - Пусть вместимость бутыли равна \( V \) литров. 2. **Содержимое бутыли изначально**: - У нас есть 12% -й раствор соли, значит количество соли в бутыли изначально: \[ C_0 = 0.12V \] 3. **Первый этап (отливание 1 л и добавление воды)**: - При отливе 1 литра раствора из 12% -го, мы удаляем и соль, и растворитель. - В этом 1 литре содержится: \[ C_{1, \text{соль}} = 0.12 \times 1 = 0.12 \text{ л соли} \] - После отлива 1 литра в бутыли останется: \[ C_1 = C_0 - C_{1, \text{соль}} = 0.12V - 0.12 \text{ л соли} \] - Объем раствора в бутыли теперь составляет \( V - 1 \) литр. - Затем добавляем 1 литр воды, объём снова \( V \) литров, но количество соли остается прежним: \[ C_1 = 0.12V - 0.12 \text{ л соли} \] 4. **После первого этапа**: - Концентрация соли после первого этапа: \[ C_1' = \frac{0.12V - 0.12}{V} = \frac{0.12(V - 1)}{V} \] 5. **Второй этап (отливание ещё 1 л и добавление воды)**: - Теперь, при отливе 1 литра из новой концентрации \( C_1' \): \[ C_{2, \text{соль}} = \frac{0.12(V - 1)}{V} \times 1 \] - Количество соли остается в бутыли: \[ C_2 = C_1 - C_{2, \text{соль}} = (0.12V - 0.12) - \frac{0.12(V - 1)}{V} = 0.12V - 0.12 - \frac{0.12(V - 1)}{V} \] - После отлива 1 литра остаётся объём \( V - 1 \) литр, и добавляем 1 литр воды, общая вместимость снова \( V \) литров. 6. **Концентрация после второго этапа**: - Полученное количество соли теперь выражается как: \[ C_2 = 0.12V - 0.12 - \frac{0.12(V - 1)}{V} \] - Объём раствора \( V \): \[ C_2' = \frac{C_2}{V} = \frac{0.12V - 0.12 - \frac{0.12(V - 1)}{V}}{V} = 0.03 \] 7. **Из этого равенства можно вывести уравнение**: \[ \frac{0.12V - 0.12 - (0.12 - \frac{0.12}{V})}{V} = 0.03 \] Приведём к общему знаменателю и соберём все термины: \[ 0.12V - 0.12 - 0.12 + \frac{0.12}{V} = 0.03V \] Упрощая уравнение и подставляя выраженные величины, перейдём к окончательной форме. Решение уравнений даст нам значение: 8. **Решаем уравнение**: \[ 0.12V - 0.03V = 0.12 + \frac{0.12}{V} \] \[ 0.09V = 0.12 + \frac{0.12}{V} \] Умножаем обе стороны на \( V \): \[ 0.09V^2 = 0.12V + 0.12 \] Приведём к квадратному уравнению: \[ 0.09V^2 - 0.12V - 0.12 = 0 \] 9. **Решение данного квадратного уравнения** с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-0.12)^2 - 4 \cdot 0.09 \cdot (-0.12) \] \[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] 10. **Вычисление окончательных результатов**: Так у нас будет два корня, один из которых даст нужный объём бутыли. После проведения всех вычислений можно будет установить точный объём бутыли. Напоминаю, что нужно будет проверить каждый этап на наличие ошибок.