Дано: E=200 ГПа; μ=0,3 ; σx=8 МПа; σy=−3 МПа; σz=7 МПа; τzy=−3 МПа. Для заданного в точке тела напряженного состояния требуется вычислить главные напряжения, угол поворота главных…

Для решения этой задачи воспользуемся основами теории напряжений и деформаций.

Шаг 1: Найти главные напряжения

У нас даны компоненты напряжения: \[ \sigma_x = 8 \, \text{МПа}, \quad \sigma_y = -3 \, \text{МПа}, \quad \sigma_z = 7 \, \text{МПа}, \quad \tau_{zy} = -3 \, \text{МПа}. \]

Главные напряжения находятся как собственные значения матрицы напряжений: \[ \begin{pmatrix} \sigma_x & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_y & \tau_{zy} \\ 0 & \tau_{zy} & \sigma_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & -3 & 7 \end{pmatrix} \]

Для такой матрицы необходимо решить характеристическое уравнение: \[ \text{det} \left( \begin{pmatrix} 8-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & -3-\lambda & -3 \\ 0 & -3 & 7-\lambda \end{pmatrix} \right) = 0. \]

Решение этого уравнения дает главные напряжения (\(\sigma_1\), \(\sigma_2\), \(\sigma_3\)).

Шаг 2: Найти главные деформации

Используем уравнение связи между деформациями и напряжениями:

\[ \epsilon_x = \frac{1}{E} \left( \sigma_x - \mu(\sigma_y + \sigma_z)\right) \] \[ \epsilon_y = \frac{1}{E} \left( \sigma_y - \mu(\sigma_x + \sigma_z)\right) \] \[ \epsilon_z = \frac{1}{E} \left( \sigma_z - \mu(\sigma_x + \sigma_y)\right) \]

Третья главная деформация определяется аналогичным образом и выражается через собственные значения матрицы деформаций, которая получается из использования формул для \(\epsilon_x\), \(\epsilon_y\), \(\epsilon_z\) и связи с \(\tau_{zy}\).

Подставим все данные:

\(E = 200 \, \text{ГПа} = 200 \times 10^3 \, \text{МПа}\)

\(\mu = 0.3\)

\[ \epsilon_z = \frac{1}{200 \times 10^3} \left( 7 - 0.3(8 - 3)\right) \]

Решаем и переводим в проценты:

\[ \epsilon_z = \frac{1}{200000} \left( 7 + 0.9\right) \approx 3.05 \times 10^{-5} \]

Преобразуем в проценты:

\[ \epsilon_z \approx 0.00305 \% \]

Это даёт третью главную деформацию с тремя значащими цифрами:

\[ \epsilon_z \approx 0.00305 \% \]