На ужине два представителя из Китая и три представителя из России случайным образом садятся за круглый стол. Найдите вероятность, что между представителями из Китая сядет один представитель из России.

Чтобы решить задачу о вероятности того, что между двумя представителями из Китая за круглым столом сядет один представитель из России, давайте разберем ее шаг за шагом. ### Шаг 1: Общее количество мест и способы рассадки У нас есть 2 китайских представителя (К1 и К2) и 3 русских представителя (Р1, Р2, Р3). Всего участников 5. При рассадке за круглым стол важно помнить, что круговое размещение людей имеет свои особенности. Мы можем зафиксировать одного человека для устранения симметрии (поскольку повороты вокруг стола не считаются различными размещениями), и затем разместить остальных. Таким образом, мы можем зафиксировать, например, одного китайского представителя (К1) на одном месте. Теперь мы ставим 4 оставшихся представителя за оставшиеся 4 места. ### Шаг 2: Количество способов размещения После того как мы зафиксировали К1, остаются 4 человека (К2, Р1, Р2, Р3). Эти 4 человека могут занимать оставшиеся 4 места, что дает нам \(4!\) способов размещения: \[ 4! = 24 \] ### Шаг 3: Подсчет благоприятных исходов Теперь нам нужно определить количество благоприятных исходов, в которых между китайскими представителями будет ровно один русский. 1. Чтобы обеспечить данный случай, давайте сначала поместим К1 (его место мы зафиксировали), а потом поместим К2. 2. К2 может сидеть либо справа, либо слева от К1. Но между ними должен находиться один русский представитель. Таким образом, мы имеем два основных размещения: - К1, Р, К2 - К2, Р, К1 где Р — это один из русских представителей. 3. На каждое из этих размещений (К1, Р, К2 или К2, Р, К1) мы можем выбирать любого из 3 русских, которые могут занять место между китайскими представителями. Это дает нам 3 варианта для русских (Р1, Р2, Р3). После выбора русского (1 из 3), остаются 2 русских, которых нужно разместить на оставшиеся 2 места. Это можно сделать \(2!\) способами: \[ 2! = 2 \] Следовательно, общее число успешных случаев: - Для каждого расположения (К1, Р, К2 и К2, Р, К1) мы имеем: \[ 3 \cdot 2 = 6 \text{ для одного расположения} \] Итак, оба расположения дают: \[ 6 + 6 = 12 \] ### Шаг 4: Вероятность Теперь мы можем найти вероятность, разделив количество благоприятных случаев на общее количество случаев: \[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \] ### Ответ Вероятность того, что между представителями из Китая сядет один представитель из России, равна \( \frac{1}{2} \).