вычислите cos(A+B) ,если cos A = -4/5 и π/2<A<π cos B = -3/5 и π/2<B<3π/2
Для того чтобы вычислить \(\cos(A + B)\), мы воспользуемся формулой сложения косинусов:
\[ \cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B \]
У нас есть значения \(\cos A\) и \(\cos B\):
\[ \cos A = -\frac{4}{5} \quad \text{и} \quad \cos B = -\frac{3}{5} \]
Теперь нам нужно найти \(\sin A\) и \(\sin B\). Мы можем использовать теорему Пифагора, которая говорит, что для любого угла \(\theta\):
\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \]
Находим \(\sin A\)
- Подставим значение \(\cos A\):
\[ \sin^2 A + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \]
- Вычислим:
\[ \sin^2 A + \frac{16}{25} = 1 \]
- Выразим \(\sin^2 A\):
\[ \sin^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \]
- Извлечем квадратный корень:
\[ \sin A = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5} \]
Поскольку мы знаем, что угол \(A\) находится в диапазоне \(\frac{\pi}{2} < A < \pi\), то \(\sin A\) будет положительным:
\[ \sin A = \frac{3}{5} \]
Находим \(\sin B\)
- Подставим значение \(\cos B\):
\[ \sin^2 B + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \]
- Вычислим:
\[ \sin^2 B + \frac{9}{25} = 1 \]
- Выразим \(\sin^2 B\):
\[ \sin^2 B = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]
- Извлечем квадратный корень:
\[ \sin B = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \]
Поскольку угол \(B\) находится в диапазоне \(\frac{\pi}{2} < B < \frac{3\pi}{2}\), то \(\sin B\) будет отрицательным:
\[ \sin B = -\frac{4}{5} \]
Подставляем в формулу для \(\cos(A + B)\)
Теперь подставим найденные значения в формулу:
\[ \cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B \]
\[ = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) - \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \]
Выразим это в числовом виде:
\[ = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25} \]
Ответ
Таким образом, значение \(\cos(A + B)\) равно \(\frac{24}{25}\).
