Вычислите cos(A+B) ,если cos A = -4/5 и π/2

Для того чтобы вычислить \(\cos(A + B)\), мы воспользуемся формулой сложения косинусов: \[ \cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B \] У нас есть значения \(\cos A\) и \(\cos B\): \[ \cos A = -\frac{4}{5} \quad \text{и} \quad \cos B = -\frac{3}{5} \] Теперь нам нужно найти \(\sin A\) и \(\sin B\). Мы можем использовать теорему Пифагора, которая говорит, что для любого угла \(\theta\): \[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] ### Находим \(\sin A\) 1. Подставим значение \(\cos A\): \[ \sin^2 A + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \] 2. Вычислим: \[ \sin^2 A + \frac{16}{25} = 1 \] 3. Выразим \(\sin^2 A\): \[ \sin^2 A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \] 4. Извлечем квадратный корень: \[ \sin A = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5} \] Поскольку мы знаем, что угол \(A\) находится в диапазоне \(\frac{\pi}{2} < A < \pi\), то \(\sin A\) будет положительным: \[ \sin A = \frac{3}{5} \] ### Находим \(\sin B\) 1. Подставим значение \(\cos B\): \[ \sin^2 B + \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] 2. Вычислим: \[ \sin^2 B + \frac{9}{25} = 1 \] 3. Выразим \(\sin^2 B\): \[ \sin^2 B = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] 4. Извлечем квадратный корень: \[ \sin B = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \] Поскольку угол \(B\) находится в диапазоне \(\frac{\pi}{2} < B < \frac{3\pi}{2}\), то \(\sin B\) будет отрицательным: \[ \sin B = -\frac{4}{5} \] ### Подставляем в формулу для \(\cos(A + B)\) Теперь подставим найденные значения в формулу: \[ \cos(A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B \] \[ = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) - \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \] Выразим это в числовом виде: \[ = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25} \] ### Ответ Таким образом, значение \(\cos(A + B)\) равно \(\frac{24}{25}\).