f(x)=(x+4)^(2)×e^(1-x)

Чтобы понять, как работать с функцией \( f(x) = (x + 4)^2 \times e^{1 - x} \), давайте рассмотрим её подробнее. Мы разберёмся в структуре функции, а также посмотрим, как можно её анализировать (например, найти производные, нули, максимум и минимум).

Шаг 1: Понимание структуры функции

Функция состоит из двух множителей:

1. \( (x + 4)^2 \) - это квадратный полином.
2. \( e^{1 - x} \) - это экспоненциальная функция, которая убывает с увеличением \( x \).

Вместе, эти два множителя создают функцию, которая будет иметь разные свойства на различных интервалах.

Шаг 2: Нахождение нулей функции

Чтобы найти нули функции, нам нужно решить уравнение: \[ f(x) = 0 \] Так как \( f(x) \) является произведением двух функций, для того чтобы \( f(x) \) было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю. Рассмотрим каждый множитель.

1. \( (x + 4)^2 = 0 \)
   При этом: \[ x + 4 = 0 \implies x = -4 \] Т.к. мы имеем квадрат, \( (x + 4)^2 \) = 0 лишь в одной точке — \( x = -4 \).

2. Экспоненциальная функция \( e^{1 - x} \) никогда не равна нулю для любого действительного числа \( x \). Это значит, что единственный нуль функции \( f(x) \) — это \( x = -4 \).

Шаг 3: Анализ пределов функции

Следующий шаг — это анализ поведения функции при \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \):

• При \( x \to \infty \): \[ (x + 4)^2 \to \infty \quad \text{и} \quad e^{1 - x} \to 0 \] Таким образом, \( f(x) \to \infty \cdot 0 \). В этом случае нам нужно проанализировать, какое из двух быстрее растёт или убывает, но в целом мы можем сказать, что функция будет стремиться к \( 0 \) (так как экспонента убывает быстрее, чем квадратный полином растёт).

• При \( x \to -\infty \): \[ (x + 4)^2 \to \infty \quad \text{и} \quad e^{1 - x} \to \infty \] Суммарно в этом случае \( f(x) \to \infty \).

Шаг 4: Нахождение производной функции

Чтобы понять, где функция достигает локальных максимумов и минимумов, мы можем найти первую производную \( f'(x) \). Для этого используем правило произведения:

\[ f'(x) = (u \cdot v)' = u'v + uv' \] где \( u = (x + 4)^2 \) и \( v = e^{1 - x} \).

1. Найдём \( u' \): \[ u' = 2(x + 4) \]

2. Найдём \( v' \): \[ v' = e^{1 - x} \cdot (-1) = -e^{1 - x} \]

Теперь подставим в производную: \[ f'(x) = 2(x + 4)e^{1 - x} + (x + 4)^2(-e^{1 - x}) \]

Шаг 5: Подводя итоги

Мы проанализировали функцию \( f(x) \):

• Нулем функции является \( x = -4 \).
• При \( x \to \infty \), \( f(x) \to 0 \), а при \( x \to -\infty \) — \( f(x) \to \infty \).

Этот анализ показывает сложные свойства функции и может помочь вам дальше разбираться в её графике, определять экстремумы и так далее. Если вам нужна дополнительная информация или помощь с конкретной частью, дайте знать!