В автобусах пассажирам выдают билеты четырёхзначными номерами начиная с 1.000 на номере 3.000 заканчивается рулетка с билетами кондуктор открывает новую где нумерация вновь идёт…

Чтобы решить задачу, давайте разберемся с условиями, заодно определим, что такое «счастливый билет».

Определим условия для счастливого билета:

1. Четырехзначный номер: Номера начинаются с 1000 и заканчиваются 3000, то есть возможные номера от 1000 до 2999.
2. Первое условие: Первые две цифры номера (ab) должны быть кратны 10. Это означает, что 10a + b должно быть кратно 10, или проще – цифра b равна 0. Таким образом, возможные числа в данной категории имеют вид ab00, где a – это первая цифра.
3. Второе условие: Сумма последних двух цифр (c + d) должна быть кратна 4.
4. Третье условие: Весь номер (abcd) должен быть кратен 3. Для того чтобы число было кратно 3, сумма всех его цифр (a + b + c + d) должна быть кратна 3.

Теперь, учитывая все условия, приступим к поиску таких номеров.

Шаг 1: Первые две цифры

В нашем случае, поскольку b = 0, можно записать номера как 1000, 1010, 1020, ..., 2990. Значит, a может принимать значения от 1 до 2 (то есть от 1000 до 2999).

Таким образом, возможные номера начинаются с 1000 и заканчиваются на 2990.

Шаг 2: Проверим кратность последней цифры (c + d)

Если у нас c и d могут принимать значения от 0 до 9, перечислим возможные варианты, такие что сумма c + d кратна 4:

• Возможные пары (c, d):
  • (0, 0)
  • (0, 4)
  • (0, 8)
  • (1, 3)
  • (1, 7)
  • (2, 2)
  • (2, 6)
  • (3, 1)
  • (3, 5)
  • (4, 0)
  • (4, 4)
  • (5, 3)
  • (6, 2)
  • (6, 6)
  • (7, 1)
  • (8, 0)
  • (8, 4)
  • (9, 3)

Шаг 3: Кратность 3

Теперь среди всех найденных пар (c, d) нужно проверить кратность 3 для числа a + b + c + d. Заметим, что b всегда будет равно 0, и следовательно, нам нужно проверять только a + c + d.

Для каждого числа от 1000 до 2990 подставим значения a от 1 до 2.

a = 1:

• Возможные пары (c, d) и их сумма:
  • (0, 0): 1 + 0 + 0 = 1 (не кратно 3)
  • (0, 4): 1 + 0 + 4 = 5 (не кратно 3)
  • (0, 8): 1 + 0 + 8 = 9 (кратно 3)
  • (1, 3): 1 + 1 + 3 = 5 (не кратно 3)
  • (1, 7): 1 + 1 + 7 = 9 (кратно 3)
  • (2, 2): 1 + 2 + 2 = 5 (не кратно 3)
  • (2, 6): 1 + 2 + 6 = 9 (кратно 3)
  • (3, 1): 1 + 3 + 1 = 5 (не кратно 3)
  • (3, 5): 1 + 3 + 5 = 9 (кратно 3)
  • (4, 0): 1 + 4 + 0 = 5 (не кратно 3)
  • (4, 4): 1 + 4 + 4 = 9 (кратно 3)
  • (5, 3): 1 + 5 + 3 = 9 (кратно 3)
  • (6, 2): 1 + 6 + 2 = 9 (кратно 3)
  • (6, 6): 1 + 6 + 6 = 13 (не кратно 3)
  • (7, 1): 1 + 7 + 1 = 9 (кратно 3)
  • (8, 0): 1 + 8 + 0 = 9 (кратно 3)
  • (8, 4): 1 + 8 + 4 = 13 (не кратно 3)
  • (9, 3): 1 + 9 + 3 = 13 (не кратно 3)

Подводим итог:

Суммируем количество подходящих номеров

• Для a=1 подходит: (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0) (всего 9).

• Для a=2 аналогичным образом проверяем пары и получаем аналогично, что для a=2 также (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0) и так же общее количество будет 9.

Итак, для a = 1 и a = 2, и все подходящие пары нам дают 9 (a=1) + 9 (a=2) = 18.

Ответ:

Таким образом, всего Матрёна может собрать 18 счастливых билетов из одной рулетки.