Чтобы решить уравнение (\frac{y}{5 - y} + 3 = \frac{-3y}{y - 1}) и найти произведение его корней, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Приведем уравнение к общему виду
Умножим обе части уравнения на ((5 - y)(y - 1)), чтобы избавиться от дробей. Это даст:
[
y(y - 1) + 3(5 - y)(y - 1) = -3y(5 - y)
]
Шаг 2: Раскроем скобки
Раскроем все скобки:
- (y(y - 1) = y^2 - y)
- (3(5 - y)(y - 1) = 3(5y - 5 - y^2 + y) = 3(-y^2 + 6y - 5))
- (-3y(5 - y) = -15y + 3y^2)
Теперь у нас есть:
[
y^2 - y + 3(-y^2 + 6y - 5) = -15y + 3y^2
]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Соберем все члены и упростим:
[
y^2 - y - 3y^2 + 18y - 15 = -15y + 3y^2
]
[
-2y^2 + 2y + 15 = 0
]
Шаг 4: Умножим на -1 и приведем уравнение к стандартному виду
Умножим всё на -1:
[
2y^2 - 2y - 15 = 0
]
Теперь делим на 2:
[
y^2 - y - \frac{15}{2} = 0
]
Шаг 5: Применим формулу Виета
Для квадратного уравнения (ay^2 + by + c = 0), сумма корней (обозначим за (S)) и произведение корней (обозначим за (P)) даны формулами:
[
S = -\frac{b}{a}, \quad P = \frac{c}{a}
]
В нашем уравнении (a = 1), (b = -1), (c = -\frac{15}{2}):
Шаг 6: Вычислим произведение корней
Подставим значения в формулу для произведения корней:
[
P = \frac{c}{a} = \frac{-\frac{15}{2}}{1} = -\frac{15}{2}
]
Ответ
Таким образом, произведение корней уравнения (y^2 - y - \frac{15}{2} = 0) равно (-\frac{15}{2}).
