Вычисли произведение корней уравнения:y/5-y +3=-3y/y-1
Чтобы решить уравнение \(\frac{y}{5 - y} + 3 = \frac{-3y}{y - 1}\) и найти произведение его корней, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Приведем уравнение к общему виду
Умножим обе части уравнения на \((5 - y)(y - 1)\), чтобы избавиться от дробей. Это даст:
\[ y(y - 1) + 3(5 - y)(y - 1) = -3y(5 - y) \]
Шаг 2: Раскроем скобки
Раскроем все скобки:
- \(y(y - 1) = y^2 - y\)
- \(3(5 - y)(y - 1) = 3(5y - 5 - y^2 + y) = 3(-y^2 + 6y - 5)\)
- \(-3y(5 - y) = -15y + 3y^2\)
Теперь у нас есть:
\[ y^2 - y + 3(-y^2 + 6y - 5) = -15y + 3y^2 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Соберем все члены и упростим:
\[ y^2 - y - 3y^2 + 18y - 15 = -15y + 3y^2 \] \[ -2y^2 + 2y + 15 = 0 \]
Шаг 4: Умножим на -1 и приведем уравнение к стандартному виду
Умножим всё на -1:
\[ 2y^2 - 2y - 15 = 0 \]
Теперь делим на 2:
\[ y^2 - y - \frac{15}{2} = 0 \]
Шаг 5: Применим формулу Виета
Для квадратного уравнения \(ay^2 + by + c = 0\), сумма корней (обозначим за \(S\)) и произведение корней (обозначим за \(P\)) даны формулами:
\[ S = -\frac{b}{a}, \quad P = \frac{c}{a} \]
В нашем уравнении \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -\frac{15}{2}\):
Шаг 6: Вычислим произведение корней
Подставим значения в формулу для произведения корней:
\[ P = \frac{c}{a} = \frac{-\frac{15}{2}}{1} = -\frac{15}{2} \]
Ответ
Таким образом, произведение корней уравнения \(y^2 - y - \frac{15}{2} = 0\) равно \(-\frac{15}{2}\).
