Обозначим первоначальную запланированную скорость поезда как ( v ) (в км/ч).
Время, необходимое для того, чтобы проехать 60 км при скорости ( v ), равно:
[
t = \frac{60}{v}
]
Из-за задержки на 0,3 часа поезд должен будет проехать это расстояние быстрее. При увеличенной скорости ( v + 10 ) км/ч время в пути составит:
[
t' = \frac{60}{v + 10}
]
Согласно условию задачи, время в пути с увеличенной скоростью должно быть равно времени в пути при первоначальной скорости, уменьшенному на 0,3 часа:
[
t' = t - 0.3
]
Подставим выражения для времени:
[
\frac{60}{v + 10} = \frac{60}{v} - 0.3
]
Умножим обе части уравнения на ( v(v + 10) ) для избавления от дробей:
[
60v = 60(v + 10) - 0.3v(v + 10)
]
Раскроем скобки:
[
60v = 60v + 600 - 0.3v^2 - 3v
]
Сократим ( 60v ) с обеих сторон:
[
0 = 600 - 0.3v^2 - 3v
]
Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:
[
0.3v^2 + 3v - 600 = 0
]
Умножим все на 10 для удобства:
[
3v^2 + 30v - 6000 = 0
]
Решим данное квадратное уравнение с использованием формулы дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6000) = 900 + 72000 = 72900
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 \pm \sqrt{72900}}{2 \cdot 3}
]
[
\sqrt{72900} = 270
]
[
v = \frac{-30 \pm 270}{6}
]
Рассмотрим два возможных решения:
( v = \frac{240}{6} = 40 )
( v = \frac{-300}{6} = -50 ) (отрицательная скорость не имеет смысла)
Следовательно, первоначальная скорость поезда составляет:
[
\boxed{40} \text{ км/ч}
]
