5/х-3 - 8/х=3

Чтобы решить уравнение \( \frac{5}{x - 3} - \frac{8}{x} = 3 \), следуем пошагово.

Шаг 1: Найдем общий знаменатель

Общий знаменатель для дробей \( \frac{5}{x - 3} \) и \( \frac{8}{x} \) будет \( x(x - 3) \).

Шаг 2: Приведем дроби к общему знаменателю

Умножим обе части уравнения на \( x(x - 3) \):

\[ x(x - 3) \cdot \left( \frac{5}{x - 3} - \frac{8}{x} \right) = 3 \cdot x(x - 3) \]

Шаг 3: Упрощаем уравнение

При умножении дробей мы можем сократить:

1. \( x(x - 3) \cdot \frac{5}{x - 3} = 5x \)
2. \( x(x - 3) \cdot \frac{8}{x} = 8(x - 3) = 8x - 24 \)

Таким образом, уравнение станет:

\[ 5x - (8x - 24) = 3x(x - 3) \]

Шаг 4: Раскроем скобки и упростим

Теперь упростим уравнение:

\[ 5x - 8x + 24 = 3x^2 - 9x \]

Это можно упростить до:

\[ -3x + 24 = 3x^2 - 9x \]

Шаг 5: Переносим все части на одну сторону

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[ 0 = 3x^2 - 9x + 3x - 24 \]

Упрощаем:

\[ 0 = 3x^2 - 6x - 24 \]

Шаг 6: Делим на 3

Разделим уравнение на 3:

\[ 0 = x^2 - 2x - 8 \]

Шаг 7: Решим квадратное уравнение

Мы можем решить его с помощью формулы дискриминанта:

1. Найдем дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

2. Теперь найдем корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 6}{2} \]

Шаг 8: Получаем значения \( x \)

Решаем:

1. \( x_1 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
2. \( x_2 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Шаг 9: Проверка корней

Проверим, подходят ли корни \( x = 4 \) и \( x = -2 \) в исходное уравнение. Поскольку \( x \) не должно равняться 3, оба корня допустимы.

Ответ:

Таким образом, решения уравнения:

\[ x = 4 \quad \text{и} \quad x = -2 \]

Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!