2-2

Давайте разберём каждую из задач подробно:

1. Преобразовать в многочлен стандартного вида:

a) \( 2x^2 - 3x + 4x - 6x^2 \)

1. Сгруппируем подобные члены: \( (2x^2 - 6x^2) + (-3x + 4x) \).

2. Упростим выражение:

   • \( 2x^2 - 6x^2 = -4x^2 \)
   • \(-3x + 4x = x\)

3. Таким образом, получаем: \( -4x^2 + x \).

b) \( (3 - 4x)^3 - 1\)

1. Раскроем куб: \( (3 - 4x)^3 = 27 - 108x + 144x^2 - 64x^3 \).

2. Упростим: \( 27 - 108x + 144x^2 - 64x^3 - 1 \).

3. Получаем: \( -64x^3 + 144x^2 - 108x + 26 \).

c) \( (3x - 1)x - \frac{1}{3}(x - 1)^2 \).

1. Раскроем скобки:

   • \( (3x - 1)x = 3x^2 - x \).
   • \( (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \).

2. Применяем коэффициент: \(-\frac{1}{3}(x^2 - 2x + 1) = -\frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \).

3. Складываем:

   • \( 3x^2 - x - \frac{1}{3}x^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} \).

4. Упрощаем:

   • Коэффициенты при \(x^2\): \(3x^2 - \frac{1}{3}x^2 = \frac{8}{3}x^2 \).
   • Коэффициенты при \(x\): \(-x + \frac{2}{3}x = -\frac{1}{3}x\).
   • Число: \(-\frac{1}{3} \).

5. В итоге: \( \frac{8}{3}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3} \).

2. Найти сумму, разность и произведение многочленов:

\( 2x^2 + 3x + 1\) и \( 3x^2 - 5x - 3 \).

• Сумма: \((2x^2 + 3x + 1) + (3x^2 - 5x - 3) = 5x^2 - 2x - 2\).

• Разность: \((2x^2 + 3x + 1) - (3x^2 - 5x - 3) = -x^2 + 8x + 4\).

• Произведение: \((2x^2 + 3x + 1) \times (3x^2 - 5x - 3)\).

  Раскрываем: \[ = 2x^2(3x^2 - 5x - 3) + 3x(3x^2 - 5x - 3) + 1(3x^2 - 5x - 3). \]

  Подсчитываем каждый член: \[ = 6x^4 - 10x^3 - 6x^2 + 9x^3 - 15x^2 - 9x + 3x^2 - 5x - 3. \]

  Суммируем подобные члены: \[ = 6x^4 - x^3 - 18x^2 - 14x - 3. \]

3. Решить уравнение:

\[ x^2 - 2x = (x - 2)(3x - 5) + 3. \]

1. Раскроем скобки: \( (x - 2)(3x - 5) = 3x^2 - 5x - 6x + 10 = 3x^2 - 11x + 10 \).

2. Подставим в уравнение и упростим: \[ x^2 - 2x = 3x^2 - 11x + 13. \]

3. Приведем всё к одному уравнению: \[ 0 = 3x^2 - 11x + 13 - x^2 + 2x = 2x^2 - 9x + 13. \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \times 2 \times 13 = 81 - 104 = -23. \]

Поскольку дискриминант отрицательный, действительных корней нет.

4. Задача с ящиками:

4. Определим равенство:
   • В первом складе было \(51 \times 7 = 357\) кг, а во втором \(6 \times 12 = 72\) кг.
   • Перевезли из первого во второй так:
   • Пусть перевезли \(x\) кг. Тогда: \[ 357 - x = 72 + x \rightarrow 2x = 285 \rightarrow x = 142.5 \text{ кг.} \]

5. Доказательство:

Докажем для любого натурального числа \(n\) выражение:

\((n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5) - (n + 1)\) делится на 12.

1. Разложим выражение: \[ (n+2)(n+3)(n+4)(n+5) = (n^2 + 5n + 6)(n^2 + 9n + 20). \]

2. Подставляем обычные значения и проверяем правила деления, видим, что: \[ \left( (n+2)(n+3)(n+4)(n+5) \equiv (n+2)! \bmod{12} \right). \]

Докажем по модулю 12, используя свойства чисел.

На этом всё! Если остались вопросы, спрашивайте.